【題目】在△ABC和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°.
(1)如圖1,當(dāng)點A、C、D在同一條直線上時,AC=12,EC=5.
①求證:AF⊥BD,
②求AF的長度;
(2)如圖2,當(dāng)點A、C、D不在同一條直線上時.求證:AF⊥BD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CF并延長CF交AD于點G,∠AFG是一個固定的值嗎?若是,求出∠AFG的度數(shù),若不是,請說明理由.
【答案】
(1)①證明:如圖1,
∵AC=BC,∠ACB=∠ECD=90°,EC=DC,∴△ACE≌△BCD,
∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠BFE=∠ACE=90°,∴AF⊥BD.
②解:∵∠ECD=90°,BC= AC=12,DC= EC=5,∴BD=13,
∵S△ABD= AD·BC= BD·AF,∴AF= .
(法2:∵∠ECD=90°,BC= AC=12,DC= EC=5,∴AE=BD=13,BE=7,設(shè)EF=x,
∵∠BFE=90°,∴BF2=BE2-EF2,BF2=AB2-AF2,∴72-x2=288-(13+x)2,
∴x= ,∴AF=13+ = .)
(2)證明:如圖4,∵∠ACB=∠ECD,∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE,
∵AC=BC,∠ACE=∠BCD,EC=DC,∴△ACE≌△BCD,∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,∴∠BFA=∠BCA=90°,∴AF⊥BD.
(3)解:∠AFG=45°.
如圖4,
過點C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分別為M、N,
∵△ACE≌△BCD,∴S△ACE=S△BCD,AE=BD,∵S△ACE= AE·CN,
S△BCD= BD·CM,∴,
∵CM⊥BD,CN⊥AE,∴CF平分∠BFE,
∵AF⊥BD,∴∠BFE=90°,∴∠EFC=45°,∴∠AFG=45°.
(法2:過點C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分別為M、N,∵CM⊥BD,CN⊥AE,
∴∠BMC=∠ANC=90°,∵△ACE≌△BCD,∴∠1=∠2,∵∠BMC=∠ANC=90°,∠1=∠2,
AC=BC,∴△BCM≌△ACN,∴CM=CN,∵CM⊥BD,CN⊥AE,∴CF平分∠BFE,
∵AF⊥BD,∴∠BFE=90°,∴∠EFC=45°,∴∠AFG=45°.)
【解析】(1)①由題中標志性條件”AC=BC,EC=DC“可證△ACE≌△BCD,對應(yīng)角相等,進而可證出垂直;②利用的結(jié)論轉(zhuǎn)化AE=BD,EC=ED,利用面積法求出AF的長;(2)借鑒(1)的思路方法,仍然證△ACE≌△BCD,進而證出AF⊥BD;(3)由(2)的結(jié)論,可根據(jù)面積相等,底邊相等,則高相等,即到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上,得出CF平分∠BFE,進而得出∠AFG=45°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題6分)甲、乙兩人進行摸牌游戲.現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌,正面分別標有數(shù)字2,3,5.將三張牌背面朝上,洗勻后放在桌子上.
(1)甲從中隨機抽取一張牌,記錄數(shù)字后放回洗勻,乙再隨機抽取一張.請用列表法或畫樹狀圖的方法,求兩人抽取相同數(shù)字的概率;
(2)若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù),則甲獲勝;若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù),則乙獲勝.這個游戲公平嗎?請用概率的知識加以解釋.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,如圖所示,如果AF=4,AB=7,
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度;
(2)求DE的長度;
(3)BE與DF的位置關(guān)系如何?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,點A是函數(shù) (x<0)圖象上一點,AO的延長線交函數(shù) (x>0,k>0的常數(shù))的圖象于點C,點A關(guān)于y軸的對稱點為A′,點C關(guān)于x軸的對稱點為C′且點O、A′、C′在同一條直線上,連接CC′,交x軸于點B,連接AB,AA′,A′C′,若△ABC的面積等于6,則由線段AC,CC′,C′A′,A′A所圍成的圖形的面積等于
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,屬于假命題的是( )
A. 三角形的內(nèi)角和等于180°; B. 圓是軸對稱圖形,任何一條直徑都是圓的對稱軸;
C. 對頂角相等; D. 在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線相互平行.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種藥原來每瓶售價為40元,經(jīng)過兩次降價,現(xiàn)在每瓶售價為25.6元,則平均每次降價的百分率是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小麗購買學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如表,因污損導(dǎo)致部分數(shù)據(jù)無法識別,根據(jù)下表,解決下列問題:
(1)小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支?
(2)若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具,共花費15元,則有哪幾種不同的購買方案?
商品名 | 單價(元) | 數(shù)量(個) | 金額(元) |
簽字筆 | 3 | 2 | 6 |
自動鉛筆 | 1.5 | ● | ● |
記號筆 | 4 | ● | ● |
軟皮筆記本 | ● | 2 | 9 |
圓規(guī) | 3.5 | 1 | ● |
合計 | 8 | 28 |
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