【題目】如圖:在平面直角坐標系xOy中,已知正比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=﹣x+7的圖象交于點A.

(1)求點A的坐標;
(2)在y軸上確定點M,使得△AOM是等腰三角形,請直接寫出點M的坐標;
(3)如圖、設x軸上一點P(a,0),過點P作x軸的垂線(垂線位于點A的右側),分別交y= 和y=﹣x+7的圖象于點B、C,連接OC,若BC= OA,求△ABC的面積及點B、點C的坐標;
(4)在(3)的條件下,設直線y=﹣x+7交x軸于點D,在直線BC上確定點E,使得△ADE的周長最小,請直接寫出點E的坐標.

【答案】
(1)解:聯(lián)立得:

解得: ,

則點A的坐標為(3,4)


(2)解:根據(jù)勾股定理得:OA= =5,

如圖1所示,分四種情況考慮:

當OM1=OA=5時,M1(0,5);

當OM2=OA=5時,M2(0,﹣5);

當AM3=OA=5時,M3(0,8);

當OM4=AM4時,M4(0, ),

綜上,點M為(0,5)、(0,﹣5)、(0,8)、(0,


(3)解:設點B(a, a),C(a,﹣a+7),

∵BC= OA= ×5=14,

a﹣(﹣a+7)=14,

解得:a=9,

過點A作AQ⊥BC,如圖2所示,

∴SABC= BCAQ= ×14×(9﹣3)=42,

當a=9時, a= ×9=12,﹣a+7=﹣9+7=﹣2,

∴點B(9,12)、C(9,﹣2)


(4)解:如圖3所示,作出D關于直線BC的對稱點D′,連接AD′,與直線BC交于點E,連接DE,此時△ADE周長最小,

對于直線y=﹣x+7,令y=0,得到x=7,即D(7,0),

由(3)得到直線BC為直線x=9,

∴D′(11,0),

設直線AD′解析式為y=kx+b,

把A與D′坐標代入得:

解得: ,

∴直線AD′解析式為y=﹣ x+

令x=9,得到y(tǒng)=1,

則此時點E坐標為(9,1)


【解析】(1)聯(lián)立正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式建立方程組,解方程組求解,即可求出點A的坐標。
(2)利用勾股定理求出OA的長,根據(jù)已知點M在x軸上,且△AOM是等腰三角形,分四種情況討論:當OM1=OA=5時,當OM2=OA=5時,當AM3=OA=5時,當OM4=AM4時,分別寫出點M的坐標。
(3)根據(jù)已知點P(a,0),過點P作x軸的垂線(垂線位于點A的右側),設出B與C坐標,表示出BC,由已知BC與OA關系,及OA的長求出BC的長,求出a的值,利用三角形的面積公式求出△ABC的面積,再求出a的值,即可確定出點B、C的坐標。
(4)作出D關于直線BC的對稱點D′,連接AD′,與直線BC交于點E,連接DE,此時△ADE周長最小,先求出點D′的坐標,再求出直線直線AD′解析式,即可求出點E的坐標。
【考點精析】掌握三角形的面積和等腰三角形的性質是解答本題的根本,需要知道三角形的面積=1/2×底×高;等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角).

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