【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC=67.5°,△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對稱,點(diǎn)M為邊AC上的一個動點(diǎn)(重合),點(diǎn)M關(guān)于AB所在直線的對稱點(diǎn)為N,△CMN的面積為S.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)設(shè)CM=x,求S與x的函數(shù)表達(dá)式,并求x為何值時S的值最大?
(3)S的值最大時,過點(diǎn)C作EC⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E,連接EN(如圖2),P為線段EN上一點(diǎn),Q為平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以M,N,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時,請直接寫出所有滿足條件NP的長.
【答案】(1)∠CAD=90°;(2)S=﹣x2+2x,當(dāng)x=2時,S有最大值.(3)2或2或.
【解析】分析:(1)由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC,再由軸對稱的性質(zhì)求∠CAD;(2)AM=4-x,又△AMN是等腰直角三角形,由三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(3)用勾股定理求出AE,AO,ON,OE,EN的長,因為點(diǎn)M,N不動,點(diǎn)P,Q是動點(diǎn),所以需要分三種情況討論,分別畫出每一種情況的圖形,根據(jù)圖形求解.
詳解:(1)∵AB=AC,∠ABC=67.5°,
∴∠ACB=∠ABC=67.5°,∴∠CAB=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,
∵△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對稱,
∴∠DAB=∠CAB=45°,
∴∠CAD=45°+45°=90°.
(2)由(1)知:AN⊥AM,
∵點(diǎn)M.N關(guān)于AB所在直線對稱,∴AM=AN,
∵CM=x,∴AN=AM=4﹣x,
∴S=×CM×AN=x(4﹣x),
∴S=﹣x2+2x,
∴當(dāng)x=﹣=2時,S有最大值.
(3)∵CE⊥AC,
∴∠ECA=90°,∵∠CAB=45°,
∴∠CEA=∠EAC=45°,∴CE=AC=4,
在Rt△ECA中,AC=EC=4,由勾股定理得:EA=,
∵AM=AN,∠CAB=∠DAB,∴AO⊥MN,MO=NO,
在Rt△MAN中,AM=AN=4﹣2=2,由勾股定理得:MN=,
∴MO=NO=,
由勾股定理得:AO=,
∴EO=4﹣,
在Rt△EON中,EO=,NO=,
由勾股定理得:EN=,
分為三種情況:①當(dāng)以MN為對角線時,此時P在E上,即NP=NE=;
②以MN為一邊時,以N為圓心,以MN為半徑畫弧交NE于P,
此時NP=MN=;
③以MN為一邊時,
過M作MZ⊥NE于Z,則PZ=NZ,
∵AE⊥MN,∴∠EON=∠MZN=90°,
∵∠ENO=∠MNZ,∴△ENO∽△MNZ,
∴,∴,
∴ZN=,∴NP=2ZN=.
即所有滿足條件NP的長是或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“十一”黃金周期間,南陽動物園在7天假期中每天游客的人數(shù)變化如下表:(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù))
(1)若9月30日的游客人數(shù)記為a萬人,請用含a的代數(shù)式表示10月2日的游客人數(shù);
(2)請判斷7天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天?
(3)若9月30日的游客人數(shù)為2萬人,門票每人10元,問黃金周期間南陽動物園門票收入是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),經(jīng)過幾秒,使△PBQ的面積等于8cm2?
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分?若能,求出運(yùn)動時間;若不能說明理由.
(3)若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動,P,Q同時出發(fā),問幾秒后,△PBQ的面積為1?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某文化用品商店用2000元購進(jìn)一批學(xué)生書包,面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求,商店又購進(jìn)第二批同樣的書包,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的3倍,但單價貴了4元,結(jié)果第二批用了6300元。
(1)求第一批購進(jìn)書包的單價是多少元?
(2)若商店銷售這兩批書包時,每個售價都是120元,全部售出后,商店共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD沿對角線BD對折,點(diǎn)C落在E處,BE與AD相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△BFD是等腰三角形;
(2)若BC=4,CD=2,求∠AFB的余弦值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點(diǎn)上,這塊三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F,連接EF,則在運(yùn)動過程中,△OEF與△ABC的關(guān)系是( 。
A. 一定相似 B. 當(dāng)E是AC中點(diǎn)時相似
C. 不一定相似 D. 無法判斷
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動課上,老師提出問題:如圖,有一張長4dm,寬3dm的長方形紙板,在紙板的四個角裁去四個相同的小正方形,然后把四邊折起來,做成一個無蓋的盒子,問小正方形的邊長為多少時,盒子的體積最大.
下面是探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)設(shè)小正方形的邊長為x dm,體積為y dm3,根據(jù)長方體的體積公式得到y和x的關(guān)系式: ;
(2)確定自變量x的取值范圍是 ;
(3)列出y與x的幾組對應(yīng)值.
x/dm | … | … | ||||||||||
y/dm3 | … | 1.3 | 2.2 | 2.7 | m | 3.0 | 2.8 | 2.5 | n | 1.5 | 0.9 | … |
(4)在下面的平面直角坐標(biāo)系中,描出補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),并畫出該函數(shù)的圖象如下圖;
結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
當(dāng)小正方形的邊長約為 dm時,(保留1位小數(shù)),盒子的體積最大,最大值約為 dm3.(保留1位小數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機(jī)抽取5次,記錄如下:
甲 | 85 | 88 | 84 | 85 | 83 |
乙 | 83 | 87 | 84 | 86 | 85 |
(1)請你分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù);
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪名工人參加合適?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠DAB,∠ABD=52°,∠ABC=116°,∠ACB=α°,則∠BDC的度數(shù)為( 。
A. α B. α C. 90﹣α D. 90﹣α
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