Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點D、E．
（1）若拋物線y=

1

3

x²+bx+c經(jīng)過C、D兩點，求出此拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點F，使得△FBD的周長最小；
（3）設Q為（1）中拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
（4）連接BD、CD，設P為（1）中拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點P，使得△ABP與△DBC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件先求出C，D兩點的坐標，再把其橫縱坐標分別代入拋物線的解析式求出b，c即可；
（2）BD的長為定值，所以要使△FBD周長最小，只需FB+FD最小，連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△FBD周長最小的點；
（3）設Q（

3

，t）為拋物線對稱軸x=

3

上一點，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，再分①當點M在對稱軸的左側(cè)時和①當點M在對稱軸的右側(cè)時，討論即可；
（4）由（1）得B（-

3

，0），BD=2

3

，DC=6，AB=2

3

，因為BC為圓的直徑，所以△BDC是直角三角形，所以可判定Rt△BDC和Rt△PAB相似，有相似的性質(zhì)和對稱的性質(zhì)可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵OA=

3

，AD=AC=2

3

，
∴C（3

3

，0）
又在Rt△AOD中，OA=

3

∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D（O，-3），
又∵D，C兩點在拋物線上，
∴c=-3，
∴b=-

2 3

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）∵y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3=

1

3

（x-

3

）²-4；
∴拋物線的對稱軸方程為：x=

3

，
∵BD的長為定值，∴要使△FBD周長最小，只需FB+FD最小，
連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△FBD周長最小的點，
設直線DC的解析式為y=mx+n，
有n=-3，得：m=

3

3

，
∴直線DC的解析式為y=

3

3

x-3，
由y=

3

3

x-3，得x=

3

，
∴y=-2，
∴F的坐標為（

3

，-2）；

（3）存在，
設Q（

3

，t）為拋物線對稱軸x=

3

上一點，M在拋物線上，
要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，
①當點M在對稱軸的左側(cè)時，過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x，t），由BC=QM得QM=4

3

，從而x=-3

3

，t=12；故在拋物線上存在點M₁（-3

3

，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形；
②同理可知當點M在對稱軸的右側(cè)時，在拋物線上存在M₂（5

3

，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形；
③當點M在對稱軸上時，在拋物線上存在M₃（

3

，-4）使得四邊形BMCQ為平行四邊形；

（4）由（1）得B（-

3

，0），BD=2

3

，DC=6，AB=2

3

∵BC為圓的直徑，∴△BDC是直角三角形，
∴在Rt△BDC和Rt△PAB中
當

AB

DB

=

AP1

BD

，△BDC∽△P₁AB，∴AP₁=

AB•DC

DB

=6，∴P₁（

3

，6）
當

AB

DC

=

AP

BD

，△BDC∽△P₂AB，∴AP₂=

AB•BD

DC

=2，∴P₂（

3

，2）
根據(jù)對稱性可得P₃（

3

，-6）．P₄（

3

，-2）．
∴點P的坐標為P₁（

3

，6），P₂（

3

，2），P₃（

3

，-6）．P₄（

3

，-2）．

點評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論，以免漏解．