Question

（2012•奉賢區(qū)三模）如圖，已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與雙曲線y=

m

x

（x＞0）交于點(diǎn)B（2，1）．過點(diǎn)P（a，a-1）（a＞1）作x軸的平行線分別交雙曲線y=

m

x

（x＞0）和y=-

m

x

（x＜0）于點(diǎn)M、N．
（1）求m的值和直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B（2，1）代入y=

m

x

，即可求出m的值，從而得到反比例函數(shù)的解析式；將點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，1）分別代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）點(diǎn)P（a，a-1）（a＞1）在直線y=2上，即可得到a-1=2，從而求出a的值，得到P點(diǎn)坐標(biāo)，作出直線MN，連接MB、NA，即可構(gòu)造三角形△PMB和△PNA，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例證出△PMB∽△PNA．

解答：解：（1）由點(diǎn)B（2，1）在y=

m

x

上，有2=

m

1

，即m=2．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
由點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，1）在y=kx+b上，
得

k+b=0 2k+b=1

解之，得

k=1 b=-1

，
∴所求直線l的解析式為y=x-1．
（2）∵點(diǎn)P（a，a-1）（a＞1）在直線y=2上，
∴P（3，2），
∴P在直線l上，是直線y=2和l的交點(diǎn)，
∴根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為N（-1，2），M（1，2），P（3，2）．
∴NP=3-（-1）=4，MP=3-1=2，
AP=

22+22

=

8

=2

2

，BP=

12+12

=

2

，
∴

NP

MP

=

AP

BP

=2，
在△PMB和△PNA中，∠MPB=∠NPA，
∴△PMB∽△PNA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法以及熟悉相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．