Question

14．閱讀下列材料：
有這樣一個問題：關于x 的一元二次方程a x²+bx+c=0（a＞0）有兩個不相等的且非零的實數(shù)根．探究a，b，c滿足的條件．
小明根據(jù)學習函數(shù)的經驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小明的探究過程：
①設一元二次方程ax²+bx+c=0（a＞0）對應的二次函數(shù)為y=ax²+bx+c（a＞0）；
②借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應的一元二次中a，b，c滿足的條件，列表如下：
方程根的幾何意義：請將（2）補充完整

方程兩根的情況	對應的二次函數(shù)的大致圖象	a，b，c滿足的條件
方程有兩個 不相等的負實根		$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac＞0\\-\frac{2a}＜0\\ c＞0.\end{array}\right.$
方程有一個負實根，一個正實根		$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ c＜0.\end{array}\right.$
方程有兩個 不相等的正實根		$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac＞0\\-\frac{2a}＞0\\ c＞0.\end{array}\right.$

（1）參考小明的做法，把上述表格補充完整；
（2）若一元二次方程mx²-（2m+3）x-4m=0有一個負實根，一個正實根，且負實根大于-1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)與一元二次方程的關系以及二次函數(shù)與系數(shù)的關系容易得出答案；
（2）根據(jù)題意得出關于m的不等式組，解不等式組即可．

解答 解：（1）補全表格如下：

方程兩根的情況	二次函數(shù)的大致圖象	得出的結論
方程有一個負實根，一個正實根
		$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac＞0\\-\frac{2a}＞0\\ c＞0.\end{array}\right.$

故答案為：方程有一個負實根，一個正實根，，$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac＞0\\-\frac{2a}＞0\\ c＞0.\end{array}\right.$；
（2）解：設一元二次方程mx²-（2m+3）x-4m=0對應的二次函數(shù)為：y=x²-（2m+3）x-4m，
∵一元二次方程mx²+（2m-3）x-4=0有一個負實根，一個正實根，
且負實根大于-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-4m＜0\\{（-1）^2}-（2m+3）•（-1）-4m＞0\end{array}\right.$
解得0＜m＜2．
∴m的取值范圍是0＜m＜2．

點評 本題考查了拋物線與x主的交點、二次函數(shù)與一元二次方程的關系以及二次函數(shù)與系數(shù)的關系等知識；熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系以及二次函數(shù)與系數(shù)的關系是解決問題的關鍵．