【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),連接AC,CB,∠B=∠AEC.
(1)如圖1,求證:CE=CD;
(2)如圖2,若∠B+∠CAE=120°,∠ACD=2∠BAC,求∠BAD的度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G,若tan∠BAC= ,EG=2,求AE的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)60°;(3)7.
【解析】試題分析:(1)利用圓的內(nèi)接四邊形定理得到∠CED=∠CDE.
(2) 作CH⊥DE于H, 設(shè)∠ECH=α,由(1)CE=CD,用α表示∠CAE,∠BAC,而∠BAD=∠BAC+∠CAE.(3)連接AG,作GN⊥AC,AM⊥EG,先證明∠CAG=∠BAC,設(shè)NG=5m,可得AN=11m,利用直角AGM, AEM,勾股定理可以算出m的值并求出AE長(zhǎng).
試題解析:
(1)解:證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O.
∴∠B+∠D=180°,
∵∠B=∠AEC,
∴∠AEC+∠D=180°,
∵∠AEC+∠CED=180°,
∴∠D=∠CED,
∴CE=CD.
(2)解:作CH⊥DE于H.
設(shè)∠ECH=α,由(1)CE=CD,
∴∠ECD=2α,
∵∠B=∠AEC,∠B+∠CAE=120°,
∴∠CAE+∠AEC=120°,
∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°,
∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣(60°+α)=30°﹣α,
∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α,
∵∠ACD=2∠BAC,
∴∠BAC=30°+α,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°.
(3)解:連接AG,作GN⊥AC,AM⊥EG,
∵∠CED=∠AEG,∠CDE=∠AGE,∠CED=∠CDE,
∴∠AEG=∠AGE,
∴AE=AG,
∴EM=MG=EG=1,
∴∠EAG=∠ECD=2α,
∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC,
∵tan∠BAC=,
∴設(shè)NG=5m,可得AN=11m,AG==14m,
∵∠ACG=60°,
∴CN=5m,AM=8m,MG==2m=1,
∴m=,
∴CE=CD=CG﹣EG=10m﹣2=3,
∴AE===7.
【題型】解答題
【結(jié)束】
27
【題目】二次函數(shù)y=(x﹣1)2+k分別與x軸、y軸交于A、B、C三點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),直線y=﹣x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且與y軸交于點(diǎn)D.
(1)如圖1,求k的值;
(2)如圖2,在第一象限的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接AP,過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,過(guò)E作EF⊥AP于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作平行于x軸的直線分別與直線FE、PE交于點(diǎn)G、H,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段GH的長(zhǎng)為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)G作平行于y軸的直線分別交AP、x軸和拋物線于點(diǎn)M、T和N,tan∠MEA= ,點(diǎn)K為第四象限拋物線上一點(diǎn),且在對(duì)稱軸左側(cè),連接KA,在射線KA上取一點(diǎn)R,連接RM,過(guò)點(diǎn)K作KQ⊥AK交PE的延長(zhǎng)線于Q,連接AQ、HK,若∠RAE﹣∠RMA=45°,△AKQ與△HKQ的面積相等,求點(diǎn)R的坐標(biāo).
【答案】(1)﹣4;(2)d=2t﹣6(t>3);(3)(﹣, ).
【解析】試題分析:(1)利用一次函數(shù)求出B點(diǎn)坐標(biāo),代入二次函數(shù)可求二次函數(shù)解析式.
(2) 先證明四邊形DOEH為矩形,利用=,代入數(shù)值求出d和t的關(guān)系.
(3) 先證明GHET為矩形,則,得到t的值,作HW⊥KQ,
證明四邊形AKWH是矩形,接著證明△RAM≌△HAN,待定系數(shù)法證明直線MR的解析式為y直線AK的解析式,△AKQ與△HKQ的面積相等,求點(diǎn)R的坐標(biāo)
試題解析:
(1)解:在一次函數(shù)y=﹣x+2中,令y=0,得:0=﹣x+2,
解得x=3,
∴B(3,0),
令x=0得y=2,
∴D(0,2),
將B(3,0),代入y=(x﹣1)2+k得:4+k=0,
∴k=﹣4.
(2)解:如答圖1所示:
∵PE⊥x軸,EF⊥AP,
∴∠PEA=∠EFA=90°,
∵∠PEF+∠FEA=90°,∠PAE+∠FEA=90°,
∴∠PEF=∠PAE,
∵DH∥x軸 HE⊥x軸,
∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90°,
∴四邊形DOEH為矩形,
∴HE=2,
∴=,
∴,
∴d=2t﹣6.(t>3).
(3)解:∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°,
∴GHET為矩形,
∴GH=d=ET=2t﹣6,
∵tan∠MEB=,
∴,
∴MT=3t﹣9,
∵,/span>
∴,
解得t=4.
∴P(4,5).
∴AT=AE﹣ET=t+1﹣(2t﹣6)=7﹣t=3,
∴M(2,3),
把x=2代入y=x2﹣2x﹣3中,得N(2,﹣3),
∴MT=TN=AT,∠MAT=90°.
∵∠RAE﹣∠RMA=45°,
∴∠RAE﹣45°=∠RMA,
∴∠RAM=∠RMA,
∵S△AKQ=S△HKQ , 作HW⊥KQ,
∴AK∥HW,AK=HW,
∴四邊形AKWH是矩形,
∴∠RAH=∠HAK=90°,
∴∠RAM=∠HAN.
∵A(﹣1,0),H(4,2),N(2,﹣3),
∴AH=HN=,
∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA.
又∵AM=AN,
∴△RAM≌△HAN,
∴AR=AH,
過(guò)R作RL⊥x軸,
∴∠RLA=∠AEH=90°,
∵∠RAL+∠HAE=90,∠HAE+∠AHE=90,
∴∠RAL=∠AHE,
∴△ARL≌△AHE,
∴RL=AE=5,AL=HE=3,
由∠RAM﹣∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA,∠RMT=∠HAE,tan∠RMT=tan∠HAE=,
V(,0),
直線MR的解析式為y= x﹣2,直線AK的解析式為y=﹣x﹣,
交點(diǎn)R(﹣, ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一個(gè)多邊形的各邊都相等且各角也都相等,那么這樣的多邊形叫做正多邊形,如正三角形就是等邊三角形,正四邊形就是正方形,如下圖,就是一組正多邊形,
(1)觀察上面每個(gè)正多邊形中的∠α,填寫下表:
正多邊形邊數(shù) | 3 | 4 | 5 | 6 | …… | n |
∠α的度數(shù) | ______° | _____° | ______° | ______° | …… | _____° |
(2)根據(jù)規(guī)律,計(jì)算正八邊形中的∠α的度數(shù).
(3)是否存在正n邊形使得∠α=21°?若存在,請(qǐng)求出n的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小易同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí),遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖,已知點(diǎn)在直線外,請(qǐng)用一把刻度尺(僅用于測(cè)量長(zhǎng)度和畫直線),畫出過(guò)點(diǎn)且平行于的直線,并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的畫圖依據(jù).
小易想到一種作法:
①在直線上任取兩點(diǎn)、(兩點(diǎn)不重合);
②利用刻度尺連接并延長(zhǎng)到,使;
③連接并量出中點(diǎn);
④作直線.
∴直線即為直線的平行線.
(1)請(qǐng)依據(jù)小易同學(xué)的作法,補(bǔ)全圖形.
(2)證明:∵,
∴為的中點(diǎn),
又∵為中點(diǎn),
∴( )
(3)你還有其他畫法嗎?請(qǐng)畫出圖形,并簡(jiǎn)述作法.
作法:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題解決:如圖1,中,為邊上的中線,則______.
問(wèn)題探究:
(1)如圖2,分別是的中線,與相等嗎?
解:中,由問(wèn)題解決的結(jié)論可得,,.
∴
∴
即.
(2)圖2中,仿照(1)的方法,試說(shuō)明.
(3)如圖3,,,分別是的中線,則______,______,______.
問(wèn)題拓展:
(1)如圖4,分別為四邊形的邊的中點(diǎn),請(qǐng)直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系:______.
(2)如圖5,分別為四邊形的邊的中點(diǎn);請(qǐng)直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系:______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解青少年形體情況,現(xiàn)隨機(jī)抽查了若干名初中學(xué)生坐姿、站姿、走姿的好壞情況(如果一個(gè)學(xué)生有一種以上不良姿勢(shì),以他最突出的一種作記載),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(1)求這次被抽查形體測(cè)評(píng)的學(xué)生一共有多少人?
(2)求在被調(diào)查的學(xué)生中三姿良好的學(xué)生人數(shù),并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若全市有5萬(wàn)名初中生,那么估計(jì)全市初中生中,坐姿和站姿不良的學(xué)生共有多少人?
【答案】(1)500名;(2)75名;(3)2.5萬(wàn)
【解析】試題分析:(1)用類型人數(shù)除以所占百分比就是總?cè)藬?shù).(2)用總?cè)藬?shù)乘以15%.
(3) 坐姿和站姿不良的學(xué)生的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù).
試題解析:
(1)解:100÷20%=500(名),
答:這次被抽查形體測(cè)評(píng)的學(xué)生一共是500名;
(2)解:三姿良好的學(xué)生人數(shù):500×15%=75名,
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示;
(3)解:5萬(wàn)×(20%+30%)=2.5萬(wàn),
答:全市初中生中,坐姿和站姿不良的學(xué)生有2.5萬(wàn)人.
【題型】解答題
【結(jié)束】
24
【題目】如圖,矩形ABCD中,P為AD邊上一點(diǎn),沿直線BP將△ABP翻折至△EBP(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E),PE與CD相交于點(diǎn)O,且OE=OD.
(1)求證:PE=DH;
(2)若AB=10,BC=8,求DP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1) 定義:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如:直角三角形的直角邊分別為3、4,則斜邊的平方=32+42=25.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,直接寫出BC2=__________________.
(2)應(yīng)用:已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn),AP= ,請(qǐng)利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一原理,在線段AC上畫出一點(diǎn)M,使MP+MD最小,并直接寫出最小值的平方為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在□ABCD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.
(1)求證:四邊形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】去冬今春,我市部分地區(qū)遭受了罕見(jiàn)的旱災(zāi),“旱災(zāi)無(wú)情人有情”.某單位給某鄉(xiāng)中小學(xué)捐獻(xiàn)一批飲用水和蔬菜共320件,其中飲用水比蔬菜多80件.
(1)求飲用水和蔬菜各有多少件?
(2)現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛,一次性將這批飲用水和蔬菜全部運(yùn)往該鄉(xiāng)中小學(xué).已知每輛甲種貨車最多可裝飲用水40件和蔬菜10件,每輛乙種貨車最多可裝飲用水和蔬菜各20件.則運(yùn)輸部門安排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種方案?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái);
(3)在(2)的條件下,如果甲種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)400元,乙種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)360元.運(yùn)輸部門應(yīng)選擇哪種方案可使運(yùn)費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“安全教育平臺(tái)”是中國(guó)教育學(xué)會(huì)為方便學(xué)長(zhǎng)和學(xué)生參與安全知識(shí)活動(dòng)、接受安全提醒的一種應(yīng)用軟件.某校為了了解家長(zhǎng)和學(xué)生參與“防溺水教育”的情況,在本校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生作調(diào)查,把收集的數(shù)據(jù)分為以下4類情形:A.僅學(xué)生自己參與;B.家長(zhǎng)和學(xué)生一起參與;
C.僅家長(zhǎng)自己參與; D.家長(zhǎng)和學(xué)生都未參與.
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)在這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了________名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算C類所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校2000名學(xué)生中“家長(zhǎng)和學(xué)生都未參與”的人數(shù).
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