【題目】如圖:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C在△ABC外作直線MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.
(1)求證:MN=AM+BN.
(2)若過點(diǎn)C在△ABC內(nèi)作直線MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系?請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)MN=BN-AM.理由見解析;
【解析】
(1)利用互余關(guān)系證明∠MAC=∠NCB,又∠AMC=∠CNB=90°,AC=BC,故可證△AMC≌△CNB,從而有AM=CN,MC=BN,利用線段的和差關(guān)系證明結(jié)論;
(2)類似于(1)的方法,證明△AMC≌△CNB,從而有AM=CN,MC=BN,可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠MAC+∠ACM=90°,∠NCB+∠ACM=90°,
∴∠MAC=∠NCB,
在△AMC和△CNB中
,
△AMC≌△CNB(AAS),
AM=CN,MC=NB,
∵MN=NC+CM,
∴MN=AM+BN;
(2)結(jié)論:MN=BN-AM.
∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠MAC+∠ACM=90°,∠NCB+∠ACM=90°,
∴∠MAC=∠NCB,
在△AMC和△CNB中,
,
△AMC≌△CNB(AAS),
AM=CN,MC=NB,
∵MN=CM-CN,
∴MN=BN-AM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)計(jì)劃購買A型和B型課桌凳共200套. 經(jīng)招標(biāo),購買一套A型課桌凳比購買一套B型課桌凳少用40元,且購買4套A型和5套B型課桌凳共需1820元.(1)求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元?
(2)、學(xué)校根據(jù)實(shí)際情況,要求購買這兩種課桌凳總費(fèi)用不能超過40880元,并且購買A型課桌凳的數(shù)量不能超過B型課桌凳數(shù)量的,求該校本次購買A型和B型課桌凳共有幾種方案?哪種方案的總費(fèi)用最低?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在街頭巷尾會遇到一類“摸球游戲”,攤主把分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的3個(gè)白球和標(biāo)有數(shù)字4,5,6的3個(gè)黑球放在口袋里球除顏色外,其他均相同,讓你摸球規(guī)定:每付3元錢就玩一局,每局連續(xù)摸兩次,每次只能摸一個(gè),第一次摸完后把球放回口袋里攪勻后再摸一次,若前后兩次摸得的都是白球,攤主就送你10元錢的獎品.
用列表法或樹狀圖表示摸出的兩個(gè)球可能出現(xiàn)的所有結(jié)果;
求獲獎的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E.
(1)AD與BC平行嗎?請說明理由;
(2)AB與EF的位置關(guān)系如何?為什么?
(3)若AF平分∠BAD,試說明:
①∠BAD=2∠F;②∠E+∠F=90°
注:本題第(1)、(2)小題在下面的解答過程的空格內(nèi)填寫理由或數(shù)學(xué)式;第(3)小題要寫出解題過程.
解:(1)AD∥BC.理由如下:
∵∠ADE+∠ADF=180°,(平角的定義)
∠ADE+∠BCF=180°,(已知)
∴∠ADF=∠________,(________)
∴AD∥BC
(2)AB與EF的位置關(guān)系是:________.
∵BE平分∠ABC,(已知)
∴∠ABE=∠ABC.(角平分線的定義)
又∵∠ABC=2∠E,(已知),
即∠E=∠ABC,
∴∠E=∠________.(________)
∴________∥________.(________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明做投擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)實(shí)驗(yàn),共做了50次試驗(yàn),將記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)表:
朝上的點(diǎn)數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出現(xiàn)的次數(shù) | 7 | 8 | 9 | 9 | 7 | |
頻率 | 0.14 | 0.20 | 0.18 | 0.18 | 0.14 |
(1)上表中,=______,=_______.
(2)正在做擲骰子實(shí)驗(yàn)的小穎和小明準(zhǔn)備做一個(gè)游戲:兩人分別擲一次骰子,誰擲出的骰子朝上的點(diǎn)數(shù)最大誰就獲勝.現(xiàn)小明先擲,擲出的點(diǎn)數(shù)為4,請分別求出小明與小穎獲勝的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等邊△ABC中.
(1)如圖1,P,Q是BC邊上兩點(diǎn),AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)(不與B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M,連接AM,PM.
①依題意將圖2補(bǔ)全;
②求證:PA=PM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形,.
如圖,求證:;
如圖,點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),弦,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)M,求證:;
在的條件下,若DG平分,,,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教科書中這樣寫道:“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”,如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式,我們常做如下變形:先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng),使式子中出現(xiàn)完全平方式,再減去這個(gè)項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變,這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法,可以求代數(shù)式的最大值或最小值等.
例如:求代數(shù)式的最小值.
當(dāng)時(shí),有最小值,最小值是.
根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題:
(1)當(dāng)為何值時(shí),代數(shù)式有最小值,求出這個(gè)最小值.
(2)當(dāng),為什么關(guān)系時(shí),代數(shù)式有最小值,并求出這個(gè)最小值.
(3)當(dāng),為何值時(shí),多項(xiàng)式有最大值,并求出這個(gè)最大值.
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