Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求直線的解析式；

（2）在坐標(biāo)系中能否找到點(diǎn)，使得且?如果能，求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3，3）或（1，-1）

【解析】

（1）由待定系數(shù)法將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入即可求得；

（2）根據(jù)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，且點(diǎn)P到AB中點(diǎn)的距離等于AB的一半進(jìn)行求解，構(gòu)造全等三角形得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，2）

代入y=kx+b中，得，

解得：，

∴AB的解析式為：；

（2）如圖，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，且∠APB=90°，

可知△APB為等腰直角三角形，

過點(diǎn)P作y軸的垂線于點(diǎn)M，過A作MP的垂線于點(diǎn)N，

∵AB==，

∴BP=AP==，

∵∠MPB+∠APN=90°，∠APN+∠PAN=90°，

∴∠BPM=∠PAN，

在△PBM和△APN中，

，

∴△PBM≌△APN（AAS）

∴MB=PN，MP=AN，

設(shè)MB=x，則AN=MP=x+2，

∴在直角△MBP中，

MB2+MP2=BP2，

即，

解得：x=1，

∴MP=AN=3，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3），

同理：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時，

有△BMP≌△PNA（AAS），

設(shè)MP為y，則OM=AN=y，BM=4-y，

在直角△BMP中，

BM2+MP2=BP2，

即（2+y）2+y2=，

解得：y=1，

∴MP=1=OM，

即點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-1）

綜上：能夠找到點(diǎn)P滿足條件，點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3）或（1，-1）.