Question

李老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處；
（2）如圖2，圓錐的母線長為4cm，底面半徑r=

4

3

cm，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A．
（3）如圖3，是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處的食物，已知盒高10cm，底面圓周長為32cm，A距下底面3cm．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處，即展開正方體，螞蟻爬△ACC₁的對角線，求出即可．
（2）首先根據(jù)圓錐的底面周長等于展開圖的弧長，可求出圓錐側(cè)面展開圖中圓心角：n=∠AOA₁=120°，進而得出AA₁的長；
（3）作出點A關(guān)于CD的對稱點A'，可構(gòu)造直角三角形或利用相似三角形等有關(guān)知識，進而得出求出BA'=20cm，即是所求．

解答：解：（1）AC1=

AC2+CC12

=

(5+5)2+52

=5

5

（2）解：由已知條件：圓錐的母線長為4cm，底面半徑r=

4

3

cm，
∴2×

4

3

π=

nπ×4

180

，
∴可求出圓錐側(cè)面展開圖中圓心角：n=∠AOA₁=120°，
∴∠AOC=60°，sin60°=

AC

AO

=

AC

4

，
∴進一步可求得最短的路程為AA₁=4

3

．


（3）如圖，作出點A關(guān)于CD的對稱點A'．
根據(jù)題意求出BF=CD=

1

2

×32=16，
可構(gòu)造直角三角形或利用相似三角形等有關(guān)知識
求出BA'=20cm，
所以螞蟻吃到食物的爬行的最短路程為AE+BE=BA'=20cm

點評：此題主要考查了平面展開圖中最短路徑問題，這是中考中熱點問題，找出展開圖的與原圖形對應情況是解決問題的關(guān)鍵．