Question

（2012•長(zhǎng)沙）在長(zhǎng)株潭建設(shè)兩型社會(huì)的過(guò)程中，為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我市某公司以25萬(wàn)元購(gòu)得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件20元．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定在25元到35元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

40-x(25≤x≤30) 25-0.5x(30＜x≤35)

（年獲利=年銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-投資成本）
（1）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量為多少萬(wàn)件？
（2）求該公司第一年的年獲利W（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最小虧損是多少？
（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬(wàn)元，該項(xiàng)捐款由兩部分組成：一部分為10萬(wàn)元的固定捐款；另一部分則為每銷(xiāo)售一件產(chǎn)品，就抽出一元錢(qián)作為捐款．若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?5＜28＜30，所以把x=28代入y=40-x即可求出該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量為多少萬(wàn)件；
（2）由（1）中y于x的函數(shù)關(guān)系式和根據(jù)年獲利=年銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-投資成本，得到w和x的二次函數(shù)關(guān)系，再有x的取值范圍不同分別討論即可知道該公司是盈利還是虧損，若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最小虧損是多少？
（3）由題目的條件得到w和x在自變量x的不同取值范圍的函數(shù)關(guān)系式，再分別當(dāng)w≥67.5，求出對(duì)應(yīng)x的范圍，結(jié)合y于x的關(guān)系中的x取值范圍即可確定此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍．

解答：解：（1）∵25＜28＜30，
y=

40-x(25≤x≤30) 25-0.5x(30＜x≤35)

，
∴把x=28代入y=40-x得，
∴y=12（萬(wàn)件），
答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量為12萬(wàn)件；

（2）①當(dāng) 25≤x≤30時(shí)，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x²+60x-925=-（x-30）²-25，
故當(dāng)x=30時(shí)，W最大為-25，即公司最少虧損25萬(wàn)；
②當(dāng)30＜x≤35時(shí)，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100
=-

1

2

x²+35x-625=-

1

2

（x-35）²-12.5
故當(dāng)x=35時(shí)，W最大為-12.5，即公司最少虧損12.5萬(wàn)；
對(duì)比①，②得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬(wàn)；
答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬(wàn)；

（3）①當(dāng) 25≤x≤30時(shí)，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x²+61x-862.5≥67.5，
-x²+61x-862.5≥67.5，
化簡(jiǎn)得：x²-61x+930≤0 
解得：30≤x≤31，
當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元時(shí)，x=30；
②當(dāng)30＜x≤35時(shí)，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-

1

2

x²+35.5x-547.5≥67.5，
化簡(jiǎn)得：x²-71x+1230≤0 
解得：30≤x≤41，
當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元時(shí)，30≤x≤35，
答：到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元，此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍是30≤x≤35．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數(shù)模型解答，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值．