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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3x軸相交于點A﹣10)、B3,0),與y軸相交于點C,點P為線段OB上的動點(不與O、B重合),過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F,點Dy軸正半軸上,OD=2,連接DE、OF

1)求拋物線的解析式;

2)當四邊形ODEF是平行四邊形時,求點P的坐標;

3)過點A的直線將(2)中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分,求這條直線的解析式.(不必說明平分平行四邊形面積的理由)

【答案】1y=﹣x2+2x+321,0)或(2,0).3y=x+y=x+

【解析】

試題分析:1)利用待定系數法求出拋物線的解析式;

2)平行四邊形的對邊相等,因此EF=OD=2,據此列方程求出點P的坐標;

3)本問利用中心對稱的性質求解.平行四邊形是中心對稱圖形,其對稱中心為兩條對角線的交點(或對角線的中點),過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積,因此過點AODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積.

解:(1A﹣1,0)、B3,0)在拋物線y=ax2+bx+3上,

,

解得a=﹣1b=2,

拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3

2)在拋物線解析式y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,

C03).

設直線BC的解析式為y=kx+b,將B30),C03)坐標代入得:

,

解得k=﹣1,b=3,

y=﹣x+3

E點坐標為(x﹣x2+2x+3),則Px,0),Fx,﹣x+3),

EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣﹣x+3=﹣x2+3x

四邊形ODEF是平行四邊形,

EF=OD=2,

﹣x2+3x=2,即x2﹣3x+2=0

解得x=1x=2,

P點坐標為(1,0)或(2,0).

3)平行四邊形是中心對稱圖形,其對稱中心為兩條對角線的交點(或對角線的中點),過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積,因此過點AODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積.

P1,0)時,

F坐標為(1,2),又D0,2),

設對角線DF的中點為G,則G2).

設直線AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G2)坐標代入得:

,

解得k=b=,

所求直線的解析式為:y=x+;

P0)時,

F坐標為(2,1),又D0,2),

設對角線DF的中點為G,則G1,).

設直線AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G1,)坐標代入得:

,

解得k=b=,

所求直線的解析式為:y=x+

綜上所述,所求直線的解析式為:y=x+y=x+

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