Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2

2

，E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），BE交對(duì)角線于F，連接
DF．
（1）求證：BF=DF；
（2）設(shè)AF=x，△ABF面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
在△ABF和△ADF中，
∵

AB=AD ∠BAC=∠DAC AF=AF

，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF=DF；

（2）如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB，
∵∠BAC=45°（正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），
∴FM=

2

2

AF=

2

2

x，
∴y=

1

2

AB•FM=

1

2

×2

2

×

2

2

x=x，
∵E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴AF的最大值為

1

2

AC=

1

2

×

2

AB=

1

2

×

2

×2

2

=2，
∴自變量的取值范圍是0＜x≤2，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x（0＜x≤2），圖象如圖．