Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，M是AD 的中點，過點A作AN∥BC交BM的延長線于點N．
（1）求證：△AMN≌△DMB；
（2）求證：四邊形ADCN是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵NF∥BC，

∴∠ANM=∠DBM，

∵M是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AM=DM，BD=CD，

在△AMN和△DMB中， ，

∴△AMN≌△DMB（AAS）

（2）證明：由（1）知，△AMN≌△DMB，則AN=DB．

∵DB=DC，

∴AN=CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCN是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，M是AD的中點，

∴AD=DC= BC，

∴四邊形ADCF是菱形

【解析】（1）根據AAS證明△AMN≌△DMB即可；（2）利用全等三角形的對應邊相等得到AN=BD．證出四邊形ADCF是平行四邊形，再由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結論；
【考點精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．