Question

小提示：你知道嗎？一元二次方程：ax²+bx+c=0的兩根滿足：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

已知：⊙T與坐標(biāo)軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)M、P、N、Q，其中P是直線y=kx-1與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)M、P、N，其頂點(diǎn)為H．
（1）求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）指出圓心T一定在哪一條直線上運(yùn)動(dòng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)H在直線y=kx-1上，且⊙T的半徑等于圓心T到原點(diǎn)距離的

2

倍時(shí)，你能確定k的值嗎？若能，請求出k的值；若不能，請說明理由．（圖只供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）作出圖形，由于兩坐標(biāo)軸互相垂直，MN為⊙T的直徑，QP為⊙T的弦，則根據(jù)垂徑定理，可知點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可推知Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)垂徑定理，圓心必在x軸上運(yùn)動(dòng)；
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系和相交弦定理求出a的值，再根據(jù)Rt_△IPH為等腰三角形，求出H的坐標(biāo)表達(dá)式，將a、c的值代入坐標(biāo)即可求出H的值．

解答：解：（1）y=kx-1交y軸于（0，-1）點(diǎn)，
∴P點(diǎn)的坐杯為（0，-1），
由Q與P關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．
答：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．

（2）∵P、Q關(guān)于x軸對稱，
根據(jù)垂徑定理得：圓心T在X軸上，
得：圓心T一定在x軸直線上運(yùn)動(dòng)．
y=ax²+bx+c過點(diǎn)P（0，-1），
當(dāng)x=0時(shí)，y=c=-1，
∴c=-1．

（3）連接IP、MP、IH，
設(shè)y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：M（x₁，0），N（x₂，0），（x₂＞x₁）．
則x₁+x₂=-

b

a

，
x₁•x₂=-a．
由題意，∵M(jìn)N為⊙I直徑，OP⊥MN，
∴OP²=OM•ON，
即-x₁•x₂=+1，
∴-ca=1．
又∵c=-1，
∴a=1．
又∵⊙I直徑MN=αIP，且x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-1，
而MN=x₂-x₁=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²+4，
∴IP=b²+2．
又∵PH切⊙I于點(diǎn)P，IP⊥PH．
∵Rt_△IPH為等腰三角形，
∴IP=PH．
∴Rt_△IPH為等腰直角三角形．
則IP=2IP．
又H坐標(biāo)為（-b²a，4ac-b²4a），
a=1，c=1代入得H（-b²，-4-b²4），
∴IH=|yh|=b²+4=2•b²+4²，
∴b²=4，
∴b=±2．
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）求（1，-2）．
由y=kx-1過（-1，-2），得k₁=1；
由y=kx-1過（1，2），得k₁=-1．
∴k的值為1或-1．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)和圓的關(guān)系，要根據(jù)圓的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系解題，要充分發(fā)掘各個(gè)圖形之間的聯(lián)系．