Question

【題目】如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D，求△ACD的面積；

（3）若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上E點(diǎn)處，請(qǐng)直接判定此時(shí)四邊形APEQ的形狀，并求出E點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）4；（3）四邊形APEQ為菱形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣）．理由詳見解析.

【解析】試題分析：（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式；（2）由解析式先求得點(diǎn)D、C坐標(biāo)，再根據(jù)S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式計(jì)算即可；（3）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、E對(duì)稱，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)可用t表示E點(diǎn)坐標(biāo)，又E在E函數(shù)上，所以代入即可求t，進(jìn)而E可表示．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得： ，

∴y=x2﹣x﹣4；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，

∴點(diǎn)D（1，﹣）、點(diǎn)C（0，﹣4），

則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；

（3）四邊形APEQ為菱形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣）．理由如下

如圖2，E點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP，

∴四邊形AQEP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴

∴AF=t，FQ=t

∴Q（3﹣t，﹣t），

∵EQ=AP=t，

∴E（3﹣t﹣t，﹣t），

∵E在二次函數(shù)y=x2﹣x﹣4上，

∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（與A重合，舍去），

∴E（﹣，﹣）．