【題目】如圖,拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過原點,與x軸的另一個交點為(2,0),將拋物線C1向右平移m(m>0)個單位得到拋物線C2 , C2交x軸于A,B兩點(點A在點B的左邊),交y軸于點C.
(1)求拋物線C1的解析式及頂點坐標;
(2)以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD,當點D落在拋物線C2的對稱軸上時,求拋物線C2的解析式;
(3)若拋物線C2的對稱軸存在點P,使△ PAC為等邊三角形,求m的值.

【答案】
(1)解:∵拋物線C1經(jīng)過原點,與X軸的另一個交點為(2,0),

,解得 ,

∴拋物線C1的解析式為y=x2﹣2x,

∴拋物線C1的頂點坐標(1,﹣1).


(2)解:如圖1,

∵拋物線C1向右平移m(m>0)個單位得到拋物線C2,

∴C2的解析式為y=(x﹣m﹣1)2﹣1,

∴A(m,0),B(m+2,0),C(0,m2+2m),

過點C作CH⊥對稱軸DE,垂足為H,

∵△ACD為等腰直角三角形,

∴AD=CD,∠ADC=90°,

∴∠CDH+∠ADE=90°

∴∠HCD=∠ADE,

∵∠DEA=90°,

∴△CHD≌△DEA,

∴AE=HD=1,CH=DE=m+1,

∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2,

由OC=EH得m2+2m=m+2,解得m1=1,m2=﹣2(舍去),

∴拋物線C2的解析式為:y=(x﹣2)2﹣1.


(3)解:如圖2,連接BC,BP,

由拋物線對稱性可知AP=BP,

∵△PAC為等邊三角形,

∴AP=BP=CP,∠APC=60°,

∴C,A,B三點在以點P為圓心,PA為半徑的圓上,

∴∠CBO= ∠CPA=30°,

∴BC=2OC,

∴由勾股定理得OB= = OC,

(m2+2m)=m+2,

解得m1= ,m2=﹣2(舍去),∴m=


【解析】(1)把(0,0)及(2,,0)代入y=x2+bx+c,求出拋物線C1的解析式,即可求出拋物線C1的頂點坐標.
(2)先求出C2的解析式,確定A、B、C的坐標,過點C作CH⊥對稱軸DE,垂足為H,利用△ACD為等腰直角三角形,求出角的關系可證得△CHD≌△DEA,再由OC=EH列出方程求解得出m的值即可得出拋物線C2的解析式.
(3)連接BC,BP,由拋物線對稱性可知AP=BP,由△PAC為等邊三角形,可得AP=BP=CP,∠APC=60°,由C,A,B三點在以點P為圓心,PA為半徑的圓上,可得BC=2OC,利用勾股定理求出OB=OC,列出方程求出m的值即可.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

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