【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D,E,F(xiàn),且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G,交⊙O于點(diǎn)H,連接BD,F(xiàn)H.
(1)求證:△ABC≌△EBF;
(2)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.

【答案】
(1)證明:∵DF⊥AC,△ABC為Rt△,

∴∠CDE=∠EBF=90°

∵∠CED=∠FEB,

∴∠DCE=∠EFB,

在△ABC和△EBF中,

,

∴△ABC≌△EBF,(ASA)


(2)解:結(jié)論:BD與⊙O相切.

理由:連接OB,

∵DF是AB的中垂線,∠ABC=90°,

∴DB=DC=DA,

∴∠DBC=∠C.

由(1)∠DCB=∠EFB,而∠EFB=∠OBF,

∴∠DBC=∠OBF,

∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°,

∴DB⊥OB,

∴BD與⊙O相切


(3)解:連接EH,

∵BH是∠EBF的平分線,

∴∠EBH=∠HBF=45°.∠HFE=∠HBE=45°.

又∠GHF=∠FHB,

∴△GHF∽△FHB,

=

∴HGHB=HF2,

∵⊙O是Rt△BEF的內(nèi)接圓,

∴EF為⊙O的直徑,

∴∠EHF=90°,

又∠HFE=45°,

∴EH=HF,

∴EF2=EH2+HF2=2HF2,

在Rt△ABC中,AB=1,tan∠C= ,

∴BC=2,AC=

由(1)知△ABC≌△EBF,

∴EF=AC= ,

∴2HF2=EF2=5,

∴HF2= ,

故HGHB=HF2=


【解析】(1)根據(jù)ASA或AAS即可證明;(2)結(jié)論:BD與⊙O相切. 連接OB,只要證明OB⊥BD即可;(3)連接EH,首先證明△GHF∽△FHB,可得 = ,即HGHB=HF2 , 想辦法求出HF2即可解決問題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】幾何計(jì)算:

(1)如圖已知AB=9cm,BD=3cm,CAB的中點(diǎn)求線段DC的長.

(2)如圖,OE為∠AOD的平分線,∠COD=EOC,COD=15°,求:

①∠EOC的大。

②∠AOD的大小.

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(1)( x-y)7÷(y-x)2÷( x-y)3

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(3)( -2)0- ++ ·

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【題目】15 ABC中,AB=AC=12厘米,∠B=C,BC=8厘米,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為v厘米/秒,則當(dāng)BPDCQP全等時(shí),v的值為

A. 2 B. 3 C. 23 D. 15

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【題目】如圖,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點(diǎn)D、F分別在AC、BC邊上,設(shè)CD的長度為x,△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( )

A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2,點(diǎn)B表示的數(shù)為8,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

(1)填空:

①A、B兩點(diǎn)間的距離AB=   ,線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為   ;

②用含t的代數(shù)式表示:t秒后,點(diǎn)P表示的數(shù)為   ;點(diǎn)Q表示的數(shù)為   

(2)求當(dāng)t為何值時(shí),PQ=AB;

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),PA的中點(diǎn)為M,NPB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn),求PM﹣BN的值.

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(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
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