【題目】問題提出:

某校要舉辦足球賽,若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽(即全部比賽過程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場且只比賽一場),則該校一共要安排多少場比賽?

構(gòu)建模型:

生活中的許多實(shí)際問題,往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用模型的思想來解決問題.

為解決上述問題,我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型:

1)如圖①,我們可以在平面內(nèi)畫出5個點(diǎn)(任意3個點(diǎn)都不在同一條直線上),其中每個點(diǎn)各代表一支足球隊(duì),兩支球隊(duì)之間比賽一場就用一條線段把他們連接起來.由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場,即每個點(diǎn)與另外4個點(diǎn)都可連成一條線段,這樣一共連成5×4條線段,而每兩個點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次,實(shí)際只有 條線段,所以該校一共要安排 場比賽.

2)若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,借助圖②,我們可知該校一共要安排__________場比賽;

…………

3)根據(jù)以上規(guī)律,若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,則該校一共要安排___________場比賽.

實(shí)際應(yīng)用:

491日開學(xué)時,老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識,請班上42位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手,全班同學(xué)總共握手________________次.

拓展提高:

5)往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車,中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站(每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱),那么在這段線路上往返行車,要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為__________種.

【答案】(1)10,10;(2)15;(3);(4861;(530

【解析】

1)根據(jù)圖①線段數(shù)量進(jìn)行作答.

2)根據(jù)圖線段數(shù)量進(jìn)行作答.

3)根據(jù)每個點(diǎn)存在n-1條與其他點(diǎn)的連線,而每兩個點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次,提出假設(shè),當(dāng) 時均成立,假設(shè)成立.

4)根據(jù)題意,代入求解即可.

5)根據(jù)題意,代入求解即可.

(1)由圖①可知,圖中共有10條線段,所以該校一共要安排10場比賽.

2)由圖②可知,圖中共有15條線段,所以該校一共要安排15場比賽.

3)根據(jù)圖①和圖②可知,若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,則每個點(diǎn)存在n-1條與其他點(diǎn)的連線,而每兩個點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次

∴若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,則該校一共要安排場比賽.

當(dāng) 時均成立,所以假設(shè)成立.

4)將n=42代入關(guān)系式中

∴全班同學(xué)總共握手861次.

5)因?yàn)樾熊囃荡嬖诜较蛐,所以不需要除去每兩個點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況

n=6代入

解得

∴要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】直線y=﹣kx+k﹣3與直線y=kx在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是( 。

A. B. C. D.

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【題目】小高從家門口騎車去離家4千米的單位上班,先花3分鐘走平路1千米,再走上坡路以0.2千米/分鐘的速度走了5分鐘,最后走下坡路花了4分鐘到達(dá)工作單位,若設(shè)他從家開始去單位的時間為t(分鐘),離家的路程為y(千米),則yt8<t≤12)的函數(shù)關(guān)系為( )

A. y=0.5t8<t≤12B. y=0.5t+28<t≤12

C. y=0.5t+88<t≤12D. y="0." 5t-28<t≤12

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【題目】有一段6000米的道路由甲、乙兩個工程隊(duì)負(fù)責(zé)完成,已知甲工程隊(duì)每天完成的工作量是乙工程隊(duì)每天完成工作量的2倍,且甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程比乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程少用10天.

1)求甲、乙兩工程隊(duì)每天各完成多少米?

2)如果甲工程隊(duì)每天需工程費(fèi)700元,乙工程隊(duì)每天需工程費(fèi)500元,甲工程隊(duì)單獨(dú)施工4天后由甲乙兩個工程隊(duì)共同完成余下的工程,則完成此項(xiàng)工程共需要多少費(fèi)用?

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【題目】如圖,在長方形ABCD中,把△BCD沿對角線BD折疊得到△BED,線段BEAD相交于點(diǎn)P,若AB=2,BC=4

1)求BD長度;(2)求點(diǎn)PBD的距離.

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【題目】如圖,在△ABC中,ACBC2,∠A=∠B30°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(點(diǎn)D不與A、B重合),連接CD,作∠CDE30°,DEBC于點(diǎn)E

(1)AB;

(2)當(dāng)AD等于多少時,△ADC≌△BED,請說明理由;

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中,△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,求出AD的長;若不可以,說明理由.

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【題目】某學(xué)校為了開展陽光體育運(yùn)動,計(jì)劃購買籃球與足球共,已知每個籃球的價(jià)格為元,每個足球的價(jià)格為

(1)若購買這兩類球的總金額為元,求籃球和足球各購買了多少個?

(2)元旦期間,商家給出藍(lán)球打九折,足球打八五折的優(yōu)惠價(jià),若購買這種籃球與足球各個,那么購買這兩類球一共需要多少錢?

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【題目】某學(xué)校欲招聘一名新教師,對甲、乙、丙三名應(yīng)試者進(jìn)行了面試、筆試和才藝三個方面的量化考核,他們的各項(xiàng)得分(百分制)如下表所示:

應(yīng)試者

面試成績

筆試成績

才藝

83

79

90

85

80

75

80

90

73

1)根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分,從高到低確定應(yīng)聘者的排名順序;

2)學(xué)校規(guī)定:筆試、面試、才藝得分分別不得低于80分、80分、70分,并按照60%、30%、10%的比例計(jì)入個人總分,請你說明誰會被錄用?

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【題目】如圖1,ABC內(nèi)接于O,BAC的平分線交O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BEEC),且BD=2.過點(diǎn)D作DFBC,交AB的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證:DF為O的切線;

(2)若BAC=60°,DE=,求圖中陰影部分的面積;

(3)若,DF+BF=8,如圖2,求BF的長.

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