如圖:有一張形狀為梯形的紙片ABCD,上底AD長為4 cm,下底BC長為8 cm,高為8cm,點(diǎn)M是腰AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥BC,交DC于點(diǎn)N,設(shè)MN=xcm.
(1)若梯形AMND的高為h1,梯形MBCN的高為h2.則
h1h2
=
 
;(用含x的式子表示)
(2)將梯形AMND沿MN折疊,點(diǎn)A落在平面MBCN內(nèi)的點(diǎn)記為E,點(diǎn)D落在平面MBCN內(nèi)的點(diǎn)記為F,梯形EF精英家教網(wǎng)NM與梯形BCNM的重疊面積為S,
①求S與x的關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
②當(dāng)x為何值時(shí),重疊部分的面積S最大,最大值是多少?
分析:(1)平移梯形的一腰構(gòu)成三角形后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)系式;
(2)①因?yàn)镸的移動(dòng)性,重疊部分分為兩種情形:上面部分不超過下部分梯形;超過下面梯形.所以分類討論.
②根據(jù)函數(shù)性質(zhì),結(jié)合自變量的取值范圍,分別求出兩種情形下的最大值,比較后得結(jié)論.
解答:解:(1)
x-4
8-x
.(4分).

(2)①(ⅰ)當(dāng)4<MN≤6時(shí),折疊后如圖所示:
由(1)得
h1
h2
=
h1
8-h1
=
x-4
8-x
,
∴8h1-xh1=8x-32-xh1+4h1
解得h1=2x-8,
所以S=
1
2
(4+x)(2x-8),
即S=x2-16.(精英家教網(wǎng)6分).
(ⅱ)當(dāng)6<MN<8時(shí),折疊后如圖所示:
由(1)得AG=h1=2x-8,GH=h2=16-2x,EH=h1-h2=4x-24.
OQ
MN
=
EH
GE
OQ
x
=
4x-24
2x-8
所以OQ=
2x2-12x
x-4

同理可求:OP=
32-4x
x-4
所以PQ=
2x2-12x+32-4x
x-4
=
2(x2-8x+16)
x-4
=2(x-4)

此時(shí)重疊面積S=
1
2
•(2x-8+x)•(16-2x)=-3x2+32x-64
.(10分).
綜合(。áⅲ┑茫
S=x2-16.精英家教網(wǎng)
0<x≤6
S=-3x2+32x-64.
6<x<8
②對(duì)于函數(shù)S=x2-16.0<x≤6當(dāng)x=6時(shí),S最大值=20.
對(duì)于函數(shù)S=-3x2+32x-64.6<x<8
當(dāng)x>-
32
2×(-3)
=
16
3
時(shí),S隨x的增大而減小,當(dāng)x=6時(shí),S=20.
綜上得當(dāng)x=6時(shí),S最大值=20.(12分)
點(diǎn)評(píng):此題綜合性較強(qiáng),難度較大.涉及幾何動(dòng)態(tài)問題、分類討論等難點(diǎn),須有較強(qiáng)的綜合分析問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若梯形AMND的高為h1,梯形MBCN的高為h2.則數(shù)學(xué)公式=______;(用含x的式子表示)
(2)將梯形AMND沿MN折疊,點(diǎn)A落在平面MBCN內(nèi)的點(diǎn)記為E,點(diǎn)D落在平面MBCN內(nèi)的點(diǎn)記為F,梯形EFNM與梯形BCNM的重疊面積為S,
①求S與x的關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
②當(dāng)x為何值時(shí),重疊部分的面積S最大,最大值是多少?

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①求S與x的關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
②當(dāng)x為何值時(shí),重疊部分的面積S最大,最大值是多少?

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