Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°．將△ABC繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得△A′B′C，斜邊A′B′分別與BC、AB相交于點(diǎn)D、E，直角邊A'C與AB交于點(diǎn)F．若CD=AC=2，則△ABC至少旋轉(zhuǎn)

 

度才能得到△A′B′C，此時(shí)△ABC與△A′B′C的重疊部分（即四邊形CDEF）的面積為

 

．

Answer 1

分析：在60°的直角三角形中，由于AC=2，可求AB=A′B′=4，而CD=

1

2

A′B′，可證△A′CD為等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角∠ACA′=90°-∠A′CD=30°，又可證△ACF、△A′EF為30°的直角三角形，從而可求△A′CD、△A′EF的面積，將它們的面積作差即可．

解答：解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，Rt△A′B′C≌Rt△ABC，∠A=60°，
∴A′C=AC=2，A′B′=AB=2AC=4，
∵CD=

1

2

A′B′=2，
∴△A′CD為等邊三角形，
∴旋轉(zhuǎn)角∠ACA′=90°-∠A′CD=30°，
又∠A=∠A′=60°，
∴△ACF、△A′EF為30°的直角三角形，
∴S_{四邊形CDEF}=S_△A′CD-S_△A′EF=

1

2

×2×

3

-

1

2

×(2-

3

)2×

3

=6-

5 3

2

=

12-5 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，邊長(zhǎng)的關(guān)系證明特殊三角形，把陰影部分面積化解為求兩個(gè)特殊三角形面積差．