Question

【題目】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交DC延長線于點(diǎn)E，連接BD，交y軸于點(diǎn)F，直線BD的解析式為y＝﹣x+2．

（1）寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；拋物線的解析式．

（2）如圖2，點(diǎn)P在線段EB上從點(diǎn)E向點(diǎn)B以1個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D以個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△PQB為直角三角形？

（3）如圖3，過點(diǎn)B的直線BG交拋物線于點(diǎn)G，且tan∠ABG＝，點(diǎn)M為直線BG上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MH⊥BG，垂足為H，若HF＝MF，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，5），y＝﹣x2﹣+5；（2）t＝或時(shí)，△PQB為直角三角形；（3）點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣4，3）或（0，5）．

【解析】

（1）由待定系數(shù)法求點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)題意，△DEB為等腰直角三角形，通過分類討論∠PQB=90°或∠QPB=90°的情況求出滿足條件t值；

（3）延長MF交GB于K，由∠MHK=90°，HF=MF可推得HF=FK，即F為MK中點(diǎn)，設(shè)出M坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)，表示K點(diǎn)坐標(biāo)，代入GB解析式，可求得點(diǎn)M坐標(biāo)．

將點(diǎn)D（-3，5）點(diǎn)B（2，0）代入y=ax2+bx+5

解得

∴拋物線解析式為：y=-x2-x+5

（2）由已知∠QBE=45°，PE=t，PB=5-t，QB=t

當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，△PQB為直角三角形．

∵∠QBE=45°

∴QB=PB

∴t＝ (5t)

解得t=

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，△PQB為直角三角形．

△BPQ∽△BDE

∴BQBD=BPBE

∴5（5-t）=t5

解得：t=

∴t=或時(shí)，△PQB為直角三角形．

（3）由已知tan∠ABG=，且直線GB過B點(diǎn)

則直線GB解析式為：y=x1

延長MF交直線BG于點(diǎn)K

∵HF=MF

∴∠FMH=∠FHM

∵MH⊥BG時(shí)

∴∠FMH+∠MKH=90°

∠FHK+∠FHM=90°

∴∠FKH=∠FHK

∴HF=KF

∴F為MK中點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，-x2-x+5）

∵F（0，2）

∴點(diǎn)K坐標(biāo)為（-x，x2+x-1）

把K點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x1

解得x1=0，x2=-4，

把x=0代入y=-x2-x+5，解得y=5，

把x=-4代入y=-x2-x+5

解得y=3

則點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，3）或（0，5）．