Question

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．
(1) 證明：△BDG≌△CEF；
(2) 設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長．（結(jié)果精確到十分位）
(3) 小穎想：不求正方形的邊長我也能畫出正方形．具體作法是：如圖3
①在AB邊上任取一點G′，如圖作正方形G′D′E′F′；
②連接BF′并延長交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．你認為小穎的作法正確嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵DEFG為正方形
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等邊三角形
∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF（AAS）
（2）設正方形的邊長為x，作△ABC的高AN，交BC于點N，交GF于點M

∵AN為等邊△ABC的高，AB=2
∴AN=，AM=-
∵△AGF∽△ABC
∴
∴
∴
∴正方形的邊長約為0.9
（3）正確  理由如下：
由已知可知，四邊形GDEF為矩形
∵FE∥
∴
同理
∴
又∵
∴FE=FG
∴矩形GDEF為正方形

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等邊三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以證明了；
(2)．設正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，可以求出AH的長，然后根據(jù)△AGF∽△ABC利用其對應邊成比例；可以列出關(guān)于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的邊長；
(3)．首先作一個正方形，然后利用位似圖形作圖就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行線可以得到比例線段，再根據(jù)比例線段就可以證明所作的圖形是正方形了．