Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，探索并判斷四邊形CDAN是怎樣的四邊形？并對你得到的結(jié)論予以證明；
（3）直線y=mx+2與拋物線交于T，Q兩點(diǎn)．是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，將N（2，3）代入求a，確定拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)M、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線y=kx+t解析式，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，求線段AD，由C、N兩點(diǎn)坐標(biāo)可知CN∥x軸，再求CN，證明CN與AD平行且相等，判斷斷四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）存在．如圖設(shè)T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別過T、Q作TF⊥y軸，QG⊥x軸，聯(lián)立直線TQ解析式與拋物線解析式，可得x₁，y₁，x₂，y₂之間的關(guān)系，當(dāng)以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠TOQ=90°，利用互余關(guān)系可證△TOF∽△QOG，利用相似比得出線段關(guān)系，結(jié)合x₁，y₁，x₂，y₂之間的關(guān)系求m的值．

解答：解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
將N（2，3）代入，得a（2-1）²+4=3，解得a=-1，
所以，拋物線解析式為y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，則C（0，3），
令y=0，得x=-1或3，則A（-1，0），B（3，0）；

（2）四邊形CDAN是平行四邊形．
理由：將C（0，3），M（1，4），代入直線y=kx+t中，得

t=3 k+t =4

，
解得

k=1 t=3

，直線CM解析式為y=x+3，則D（-3，0），
∵C（0，3），N（2，3），∴CN∥x軸，且CN=2-0=2，
又∵A（-1，0），D（-3，0），∴AD=-1-（-3）=2，
∴四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）存在．
如圖設(shè)T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別過T、Q作TF⊥y軸，QG⊥x軸，
聯(lián)立

y=-x2+2x+3 y=mx+2

，解得x²+（m-2）x-1=0，
則x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
當(dāng)以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠TOQ=90°，
則∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
則∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
所以，△TOF∽△QOG，

TF

QG

=

OF

OG

，即

-x1

y2

=

y1

x2

，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得m=

2± 13

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．根據(jù)利用拋物線的頂點(diǎn)式求拋物線解析式，利用解析式求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的判定定理，判斷平行四邊形，利用互余關(guān)系證明相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解．