【題目】已知:∠AOB=30°,點(diǎn)P是∠AOB 內(nèi)部及射線OB上一點(diǎn),且OP=10cm.
(1)若點(diǎn)P在射線OB上,過點(diǎn)P作關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn),連接O、P, 如圖①求P的長.
(2)若過點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點(diǎn)、,連接O、O、如圖②, 求的長.
(3)若點(diǎn)P在∠AOB 內(nèi),分別在射線OA、射線OB找一點(diǎn)M,N,使△PMN的周長取最小值,請直接寫出這個(gè)最小值.如圖③
【答案】(1)= 10cm;(2)= 10cm;(3)最小值是10cm.
【解析】
(1)根據(jù)對稱的性質(zhì)可得OP=O,∠PO=2∠AOB=60° ,從而證出△PO是等邊三角形,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)對稱的性質(zhì)可得OP=O,OP=O ,∠PO=2∠AOP ,∠ PO=2∠BOP,然后證出△PO是等邊三角形即可得出結(jié)論;
(3)過點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點(diǎn)、,連接O、O、,分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,連接PM、PN,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出此時(shí)△PMN的周長最小,且最小值為的長,然后根據(jù)(2)即可得出結(jié)論.
解:(1) ∵ 點(diǎn)P與 關(guān)于直線OA對稱,∠AOB=30°
∴ OP=O,∠PO=2∠AOB=60°
∴ △PO是等邊三角形
∵ OP=10cm
∴ = 10cm
(2) ∵ 點(diǎn)P與 關(guān)于直線OA對稱,點(diǎn)P與關(guān)于直線OB對稱,∠AOB=30°
∴ OP=O,OP=O ,∠PO=2∠AOP ,∠ PO=2∠BOP
∴ O=O,∠O=∠PO+∠ PO=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=60°
∴ △PO是等邊三角形
∵ OP=10cm
∴ = 10cm
(3)過點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點(diǎn)、,連接O、O、,分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,連接PM、PN,如下圖所示
根據(jù)對稱的性質(zhì)可得PM=M,PN=N
∴△PMN的周長=PM+PN+MN=M+N+MN=,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)△PMN的周長最小,且最小值為的長
由(2)知此時(shí)=10cm
∴△PMN的周長最小值是10cm.
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【題目】如圖,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)D在BA的延長線上,OD的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)C.若△OBC和△OAD的周長相等,則OD的長是( )
A. 2B. 2C. D. 4
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【題目】如圖,小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路AD的距離,在點(diǎn)A處測得∠BAD=37°,沿AD方向前進(jìn)150米到達(dá)點(diǎn)C,測得∠BCD=45°. 求小島B到河邊公路AD的距離.
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈ 0.60,cos37° ≈ 0.80,tan37° ≈0.75)
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,高AD、BE相交于點(diǎn)H,BC=4,在BE上截取BG=2,以GE為邊作等邊三角形GEF,則△ABH與△GEF重疊(陰影)部分的面積為_____.
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【題目】如圖,直線l經(jīng)過⊙O的圓心O,且與⊙O交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在⊙O上,且∠AOC=30°,點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)(與圓心O不重合),直線CP與⊙O相交于點(diǎn)Q.是否存在點(diǎn)P,使得QP=QO;若存在,求出相應(yīng)的∠OCP的大。蝗舨淮嬖,請簡要說明理由.
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【題目】如圖,△中,、的角平分線、交于點(diǎn),延長、,,,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( )
①CP平分∠ACF; ②∠ABC+2∠APC=180°;
③∠ACB=2∠APB; 、苋PM⊥BE,PN⊥BC,則AM+CN=AC;
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】一天課間,頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩,不小心掉到兩根柱子之間,如圖所示,這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了,于是有了下面這道題.
(1)求證:△ADC≌△CEB;
(2)如果每塊磚的厚度a=10cm,請你幫小明求出三角板ABC的面積.
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【題目】已知,如圖,拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)、C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式.
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(3)若點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)P在拋物線上,是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形?如存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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(1)請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明選擇哪家快遞公司更省錢?
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