【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;

(2)已知點M是拋物線上的一個動點,并且點M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點M的橫坐標為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達式,并求出S的最大值;

(3)在(2)的條件下,當S取得最大值時,動點M相應的位置記為點M′.

①寫出點M′的坐標;

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′,當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線l′與線段BM′交于點C,設(shè)點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2,當d1+d2最大時,求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).

【答案】(1)y=x2+2x+3;(2)S=-m2+m,最大值為;(3),),45°.

【解析】

試題分析:(1)先求出B點坐標,再把B點坐標代入即可求二次函數(shù)解析式;(2)根據(jù)M的位置可確定0<m<3,過點M作ME⊥y軸于點E,交AB于點D,設(shè)M的坐標為(m,﹣m2+2m+3),用含m的式子表示DM,然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,最大值也可求出.(3)把m=代入二次函數(shù)解析式,可求出M的坐標,過點M作直線l1l,過點B作BFl1于點F,則BF=d1+d2,當BF最大時可求出旋轉(zhuǎn)角.

試題解析: (1)令x=0代入y=3x+3,y=3,B(0,3),把B(0,3)代入y=ax22ax+a+4,3=a+4,

a=1,二次函數(shù)解析式為:y=x2+2x+3;(2)當y=0時,0=x2+2x+3,x=1或3,拋物線與x軸的交點橫坐標為1和3,0<m<3,過點M作MEy軸于點E,交AB于點D,由題意知:M的坐標為(m,m2+2m+3),D的縱坐標為:m2+2m+3,把y=m2+2m+3代入y=3x+3,x=,D的坐標為(,m2+2m+3),DM=m=,S=DMOB=××3=-m2+m=-(m-2+,S最大值為;(3)由(2)可知:M的坐標為(,);過點M作直線l1l,過點B作BFl1于點F根據(jù)題意知:d1+d2=BF,∵∠BFM=90°,點F在以BM為直徑的圓上,設(shè)直線AM與該圓相交于點H,點C在線段BM上,F在優(yōu)弧BMH上,當F與M重合時,BF可取得最大值,此時BM′⊥l1,A(1,0),B(0,3),M,),由勾股定理可求得:AB=,MB=,MA=,過點M作MGAB于點G,設(shè)BG=x,由勾股定理可得:MB2BG2=MA2AG2, x)2=x2,x=

cosMBG= ,l1l,∴∠BCA=90°,BAC=45°.

練習冊系列答案
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(1)直接寫出點A,C,D的坐標;

(2)當四邊形ABCD是矩形時,求a的值及拋物線y2的解析式;

(3)在(2)的條件下,連接DC,線段DC上的動點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度運動到點C停止,在點P運動的過程中,過點P作直線l⊥x軸,將矩形ABDE沿直線l折疊,設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位,點P的運動時間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.

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