Question

（2011內(nèi)蒙古赤峰，24，12分）如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，連結(jié)CB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸MN對(duì)稱。

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)。

當(dāng)y=0時(shí)，x=－3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，0）

當(dāng)x =0時(shí)，y= 3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）

把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

∴拋物線的解析式為

∵

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）。

（2）證明：

方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;

∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.

在Rt△AOB中，；

在Rt△ANC中， ；

在Rt△CMB中，；

∴，∴∠ABC=90°

∵點(diǎn)D、B關(guān)于對(duì)稱軸CN對(duì)稱，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四邊形ABCD是直角梯形

方法（二）：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+3；

把C（-1，4）代入，得m=－1；

∴直線BC的解析式為y=－x+3；

當(dāng)y=0時(shí)，x=3，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），即OE=3 ；

∵A（－3，0）、B（0，3）；

∴OA=OB=OE=3 。

∵∠BOA=∠BOE =90°

∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；

∴∠ABE=90°；

∴∠ABC=90°；

∵點(diǎn)D、B關(guān)于對(duì)稱軸CN對(duì)稱，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四邊形ABCD是直角梯形

【解析】略