Question

【題目】已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)．

（1）如圖1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖2，若AC⊥BD．垂足為E，AB＝4，DC＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意不難證明四邊形ABCD是正方形，從而得證；

（2）連接DO，延長(zhǎng)交圓O于F，連接CF、BF．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠DCF＝∠DBF＝90°，則BF∥AC，根據(jù)平行弦所夾的弧相等，得，則CF＝AB．根據(jù)勾股定理即可求解．

（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴AC、BD是⊙O的直徑，

∴∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵AD＝CD，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD；

（2）連接DO，延長(zhǎng)交圓O于F，連接CF、BF．

∵DF是直徑，

∴∠DCF＝∠DBF＝90°，

∴FB⊥DB，

又∵AC⊥BD，

∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，

∵∠FCA+∠ACD＝90°，

∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC，

∴四邊形ACFB是等腰梯形，

∴CF＝AB．

根據(jù)勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝52，

∴DF＝2，

∴OD＝，即⊙O的半徑為．