Question

5．已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC=2∠D，連接OC、OA、AC．
（1）如圖①，求∠OCA的度數(shù)；
（2）如圖②，連接OB、OB與AC相交于點(diǎn)E，若∠COB=90°，OC=2$\sqrt{3}$，求BC的長和陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形得到∠ABC+∠D=180°，根據(jù)∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，最后根據(jù)OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）由∠COB為直角，然后利用S_陰影=S_扇形OBC-S_△OEC求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2$\sqrt{3}$，
∴OE=OC•tan∠OCE=2$\sqrt{3}$•tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴S_△OEC=$\frac{1}{2}$OE•OC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OBC=$\frac{90π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3π，
∴S_陰影=S_扇形OBC-S_△OEC=3π-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了扇形面積的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的知識，在求不規(guī)則的陰影部分的面積時常常轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則幾何圖形的面積的和或差．