Question

已知：如圖1，射線(xiàn)AM∥射線(xiàn)BN，AB是它們的公垂線(xiàn)，點(diǎn)D、C分別在A(yíng)M、BN上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合、點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合），E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與A、B不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．
（1）求證：△ADE∽△BEC；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD+BC=CD；
（3）設(shè)AE=m，請(qǐng)?zhí)骄浚骸鰾EC的周長(zhǎng)是否與m值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示△BEC的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證△ADE∽△BEC，由圖形知證明兩組對(duì)應(yīng)角相等即可；
（2）梯形中位線(xiàn)平行于兩底，并且等于兩底和的一半，可過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，得出EF=

1

2

(AD+BC)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證明AD+BC=CD；
（3）根據(jù)△ADE∽△BEC，設(shè)AD=x，可以先求△ADE的周長(zhǎng)，根據(jù)相似比得出△BEC的周長(zhǎng)=2a，與m值無(wú)關(guān)．

解答：（1）證明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠EDA=90°．
∴∠BEC=∠EDA．∴△ADE∽△BEC．

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，
∵E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理，得F為CD的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

(AD+BC)．
在Rt△DEC中，∵DF=CF，
∴EF=

1

2

CD．
∴

1

2

(AD+BC)=

1

2

CD．
∴AD+BC=CD．

（3）解：△AED的周長(zhǎng)=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．
設(shè)AD=x，則DE=a-x．
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²．
即a²-2ax+x²=m²+x²．
∴x=

a2-m2

2a

．
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴

△ADE的周長(zhǎng)

△BEC的周長(zhǎng)

=

AD

BE

=

a2-m2 2a

a-m

=

a+m

2a

．
∵C△ADE=a+m，
∴C△BEC=2a，
∴無(wú)影響．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查梯形中位線(xiàn)平行于兩底，并且等于兩底和的一半，三角形的相關(guān)知識(shí)，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．