Question

如圖，拋物線l₁：y=-x²平移得到拋物線l₂，且經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0），l₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，它的對稱軸與l₂相交于點(diǎn)C，設(shè)l₁、l₂與BC圍成的陰影部分面積為S，解答下列問題：

（1）求l₂表示的函數(shù)解析式及它的對稱軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)。
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出S的值。
（3）在直線AC上是否存在點(diǎn)P，使得S_△POA=S？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c 的對稱軸是x=-，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，））。

Answer 1

解：（1）設(shè)l₂的函數(shù)解析式為y=-x²+bx+c
把（4，0）代入函數(shù)解析式，得

解得
∴y=-x²+4x
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4
∴l(xiāng)₂的對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)B（2，4）。
（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=-x²=-4
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-4）
S=8；
（3）存在
設(shè)直線AC表示的函數(shù)解析式為y=kx+n
把A（4，0），C（2，-4）代入得
，解得
∴y=2x-8
設(shè)△POA的高為h
S_△POA=OA·h=2h=4
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m-8）
∵S_△POA=S，且S=8
∴S_△POA=×8=4
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，得× 4（2m-8）=4
解得m=5，
∴2m-8=2
∴P的坐標(biāo)為（5，2）
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，得× 4（8-2m）=4
解得m=3，
∴2m-8=-2
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-2）或（3，-2）。