Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′．

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M時(shí)第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（4，0），

∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（﹣1，0），拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′，

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，

∴ ，

解得： ，

∴此拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：

連接AA′，設(shè)直線AA′的解析式為：y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線AA′的解析式為：y=﹣x+4，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，﹣x2+3x+4），

則S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

∴當(dāng)x=2時(shí)，△AMA′的面積最大，最大值S△AMA′=8，

∴M的坐標(biāo)為：（2，6）；

（3）

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+3x+4），當(dāng)P，N，B，Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，

∵平行四邊形ABOC中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（﹣1，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4），

∵點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，

①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ，PN=BQ，

∵BQ=4，

∴﹣x2+3x+4=±4，

當(dāng)﹣x2+3x+4=4時(shí)，解得：x1=0，x2=3，

∴P1（0，4），P2（3，4）；

當(dāng)﹣x2+3x+4=﹣4時(shí)，解得：x3= ，x2= ，

∴P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）；

②當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，BP∥QN，BP=QN，此時(shí)P與P1，P2重合；

綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）；

如圖2，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，0）或（3，0）．

【解析】此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積問題．掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），可求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′的拋物線的解析式；（2）首先連接AA′，設(shè)直線AA′的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AA′的解析式，再設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，﹣x2+3x+4），繼而可得△AMA′的面積，繼而求得答案；（3）分別從BQ為邊與BQ為對(duì)角線去分析求解即可求得答案．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題．