Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上．已知，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）分別寫出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）E（8，3），F(xiàn)（4，6）
（2）M（，0）
（3）存在點(diǎn)P（0，3），此時(shí)△PEF是等腰三角形

解：（1）E（8，3），F(xiàn)（4，6）　　　　　　……………………3分
（2）∵
∴
∵
∴
　　又∵
∴△AEM∽△BFE　　………………5分
∴
即
∴　　　　　　　　　　　　　……………………7分
∴
∴M（，0）　　　　　　　　　　　　……………………9分
（3）如圖，設(shè)P（0，n）過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，

在Rt△中，

在Rt△中，
在Rt△中，
①當(dāng)時(shí)
　　　　
　　　即＝
　　　　解得（不合題意，舍去）　　　　……………………10分
②當(dāng)時(shí)
　　　
　　　即＝25
　　　　此方程無(wú)解　　　　　　　　　　　　　……………………11分
③當(dāng)時(shí)
　　　
　　　即＝25
　　　解得，＝9（不合題意，舍去）　　　……………………12分
綜上，存在點(diǎn)P（0，3），此時(shí)△PEF是等腰三角形．……………………13分