Question

如圖，線段AD=5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上的一動(dòng)點(diǎn)，CD的垂直平分線分別交CD、AD于點(diǎn)E、B．
（1）請(qǐng)直接寫出線段CD長(zhǎng)度的取值范圍；
（2）當(dāng)線段CD長(zhǎng)為多少時(shí)，AC∥EB？
（3）△ABC能否是直角三角形？若能，請(qǐng)求AB的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）CD最長(zhǎng)時(shí)，CD=AD+⊙A的半徑；CD最短時(shí)，CD=AD+⊙A的半徑；
（2）由平行線的性質(zhì)得到CD是⊙A的切線時(shí)，AC∥EB；由勾股定理來求CD的長(zhǎng)度；
（3）分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識(shí)，借助于方程即可求得AB的值．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)C是DA的延長(zhǎng)線與⊙A的交點(diǎn)時(shí)，CD最長(zhǎng)，其長(zhǎng)度為5+1=6；
當(dāng)點(diǎn)C是AD與⊙A的交點(diǎn)時(shí)，CD最短，其長(zhǎng)度為5-1=4；
所以CD的取值范圍是：4≤CD≤6；

（2）如圖，∵BE是CD的垂直平分線，
∴BE⊥CD．
又∵AC∥EB，
∴AC⊥CD．
∴在直角△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

52-12

=2

6

，即當(dāng)CD的長(zhǎng)度為2

6

時(shí)，AC∥EB；

（3）∵BE是CD的垂直平分線，
∴BC=BD．
∵△ABC為直角三角形，
若AB是斜邊，則AB²=AC²+BC²，
即AB²=（5-AB）²+1，
∴x=2.6；
若BC是斜邊，則BC²=AB²+AC²，
即（5-AB）²=AB²+1，
∴AB=2.4．
故答案為：2.6或2.4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合題，其中涉及到了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用．