【題目】如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的長.

【答案】
(1)

證明:連接AE,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,

∴∠1= ∠CAB.

∵∠CBF= ∠CAB,

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑,

∴直線BF是⊙O的切線.


(2)

解:過點C作CG⊥AB于G.

∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,

∴sin∠1= ,

∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,

∴BE=ABsin∠1= ,

∵AB=AC,∠AEB=90°,

∴BC=2BE=2

在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= =2 ,

∴sin∠2= = = ,cos∠2= = = ,

在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,

∴AG=3,

∵GC∥BF,

∴△AGC∽△ABF,

∴BF= =


【解析】(1)連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角,從而判定直角三角形,利用直角三角形兩銳角相等得到直角,從而證明∠ABF=90°;  
   。2)利用已知條件證得△AGC∽△ABF,利用比例式求得線段的長即可.
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
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