Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線y＝﹣2x2+bx+c過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D，拋物線的頂點(diǎn)為M，其對稱軸交AB于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

（2）是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為平行四邊形？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4， M，N，（2）存在，P．

【解析】

（1）先由直線解析式求出A，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，可進(jìn)一步化為頂點(diǎn)式即可寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)并求出點(diǎn)N坐標(biāo)；

（2）先求出MN的長度，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+4），用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)D坐標(biāo)，并表示出PD的長度，當(dāng)PD＝MN時(shí)，列出關(guān)于m的方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）∵直線y＝﹣2x+4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，

∴A（2，0），B（0，4），

把點(diǎn)A（2，0），B（0，4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得

，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣2×+4＝3，

則點(diǎn)N坐標(biāo)為（，3）；

（2）存在點(diǎn)P，理由如下：

MN＝﹣3＝，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+4），

則D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，

∵PD∥MN，

∴當(dāng)PD＝MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，

即﹣2m2+4m＝，

解得，m1＝，m2＝（舍去），

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．