Question

13．已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析 先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，由于∠PAQ=∠BAC，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$時(shí)，△APQ∽△ABC，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{4}$；當(dāng)$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$時(shí)，△APQ∽△ACB，即$\frac{5-t}{4}$=$\frac{2t}{5}$，然后分別解方程求出t即可．

解答 解：∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
則BP=t，AQ=2t，AP=5-t，
∵∠PAQ=∠BAC，
當(dāng)$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$時(shí)，△APQ∽△ABC，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{4}$，解得t=$\frac{10}{7}$；
當(dāng)$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$時(shí)，△APQ∽△ACB，即$\frac{5-t}{4}$=$\frac{2t}{5}$，解得t=$\frac{25}{13}$；
答：t為$\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．利用代數(shù)式表示相應(yīng)線段長是解決動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵．