Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是 的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若OF=4，求AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE與⊙O相切．

證明：連接OD、AD，

∵點(diǎn)D是 的中點(diǎn)，

∴ = ，

∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠DAC=∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE與⊙O相切

（2）解：連接BC交OD于H，延長(zhǎng)DF交⊙O于G，

由垂徑定理可得：OH⊥BC， = = ，

∴ = ，

∴DG=BC，

∴弦心距OH=OF=4，

∵AB是直徑，

∴BC⊥AC，

∴OH∥AC，

∴OH是△ABC的中位線，

∴AC=2OH=8．

【解析】（1）先連接OD、AD，根據(jù)點(diǎn)D是 的中點(diǎn)，得出∠DAO=∠DAC，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，判定OD∥AE，最后根據(jù)DE⊥OD，得出DE與⊙O相切；（2）先連接BC交OD于H，延長(zhǎng)DF交⊙O于G，根據(jù)垂徑定理推導(dǎo)可得OH=OF=4，再根據(jù)AB是直徑，推出OH是△ABC的中位線，進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)是OH長(zhǎng)的2倍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形中位線定理和垂徑定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．