Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接寫出，Rt△AOB的內(nèi)心P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若將Rt△AOB繞其直角頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角邊AD與x軸相交于點(diǎn)N，直角邊AC與y軸相交于點(diǎn)M，連接MN．設(shè)△MON的面積為S_△MON，△AOB的面積為S_△AOB，以點(diǎn)M為圓心，MO為半徑作⊙M，
①當(dāng)直線AD與⊙M相切時，試探求S_△MON與S_△AOB之間的關(guān)系．
②當(dāng)S_△MON=S_△AOB時，試判斷直線AD與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法直接得出即可；
（2）①利用切線的性質(zhì)得出△AMN∽△ACD，進(jìn)而得出=（）²=（）²=；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MO與BN的關(guān)系得出，AM的長，進(jìn)而得出直線AD與⊙M的位置關(guān)系．
解答：解：（1）r==-1
則P的坐標(biāo)是：（3-，-1）；

（2）①當(dāng)AO與⊙M相切時，過M作MN⊥AO于點(diǎn)H，則MH=OM，此時，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵M(jìn)N∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴=（）²=（）²=；
②∵S_△AMN=S_△AOB=S_△ACD，
∴=，
∵由（2）不難得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴===，
∵設(shè)OM=x，BN=x，NO=4-x，
∴=，
解得：x₁=，x₂=，
∴當(dāng)x=時，OM=，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直線AD與⊙M相交，
當(dāng)x=時，MO=，NO=3，
∴NM==，
∴AM=，
∵＞，
∴直線AD與⊙M相離．
點(diǎn)評：此題主要考查了直角三角內(nèi)切圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出MO與BN的關(guān)系是解題關(guān)鍵．