Question

【題目】如圖所示，已知正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作∠BPF，使得∠BPF=∠ACB，BG⊥PF于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，PF交BD于點(diǎn)E，給出下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

①；②PE=2BF；③在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)GB=GP時(shí)，；④當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，．

A.①②③B.．①②④C.②③④D.．①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①過G作GH⊥AB交于H點(diǎn)，得△BHG≌△BOG，HG=OG，解等腰直角三角形得；

②首先過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易證得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM＝PE，BF＝BM，則可求得PE=2BF；

③過P作PQ∥AC交BG于M，交BO于N，根據(jù)等腰直角三角形ABO的性質(zhì)，可得，根據(jù)條件證得△PFG為等腰直角三角形，同理可證得，由即可證明；

④連接OP，則OP⊥BC，易知，根據(jù)①得，由△BEF∽△BGO，得，進(jìn)而得，進(jìn)而，整理即可求出結(jié)果．

①過G作GH⊥AB交于H點(diǎn)，

∵正方形ABCD，AC為對(duì)角線，

∴AG=GH，

∵，，

∴△BHG≌△BOG，

∴HG=OG，

∴；

故①正確；

②如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠NBP＝∠NPB．
∴NB＝NP．
∵∠MBN＝90°∠BMN，∠NPE＝90°∠BMN，
∴∠MBN＝∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
∠MBN＝∠NPE，NB＝NP，∠MNB＝∠PNE＝90°，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM＝PE，
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，
∴∠BPF＝∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP＝∠MFP＝90°．
在△BPF和△MPF中，∠BPF＝∠MPF，PF＝PF，∠PFB＝∠PFM，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF＝MF，
即BF＝BM
∴BF＝PE，即PE＝2BE；
故②正確；

③過P作PQ∥AC交BG于M，交BO于N，

易知三角形ABO為等腰直角三角形，

設(shè)OG=x，則AG=，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴△GFP為等腰直角三角形，

同理，設(shè)MF=x，結(jié)合（1）的結(jié)論，

∴，

由（2）得，，

∴，

故③正確；

④連接OP，則OP⊥BC，

由（2）（3）可知，被均等分為四份，

∴，

由（1）可知，，

∵，，

∴△BEF∽△BGO，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴，

∴，

故④錯(cuò)誤；

故選：A．