Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC的頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，且∠ACB=90°，AC=BC．

(1)如圖1，當(dāng)A(0，-2)，C(1，0)，點(diǎn)B在第四象限時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在第四象限時(shí)，作BD⊥y軸于點(diǎn)D，試判斷與哪一個(gè)是定值，并說(shuō)明定值是多少？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)D恰為BC的中點(diǎn)，連接DE，求證：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

【答案】(3，-1)

【解析】試題分析

（1）如下圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，結(jié)合已知條件證△OAC≌△DCB，就可求得BD和OD的長(zhǎng)，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）如下圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，結(jié)合已知條件可證得△OAC≌△ECB，四邊形ODBE是矩形，這樣就可得到：CE=OA，BD=OE，所以OC-BD=OC-OE=CE，從而可得： ；

（3）如下圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)G，結(jié)合已知條件可證△CBG≌△ACD，從而可得：∠ADC=∠CGB，BG=CD，結(jié)合CD=BD可得BD=BG；再證∠DBE=∠GBE=45°，就可結(jié)合BE=BE，證得△DBE≌△GBE，從而可得∠BDE=∠BGE，結(jié)合∠ADC=∠CGB就可證得：∠ADC=∠BDE．

試題解析：

(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(0，-2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(1，0)，

∴OA=2，OC=1，

作BD⊥CD，

∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，

∴∠OAC=∠DCB，

∵在△OAC和△DCB中，

∴△OAC≌△DCB，(AAS)

∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，-1)；

(2)作BE⊥OC，則四邊形ODBE為矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCO=∠CAO，

∵△OAC和△ECB中，

∴△OAC≌△ECB，(AAS)

∴EC=OA，

∵四邊形ODBE為矩形，

∴OE=BD，

∵OC=OE+EC，

∴OC=AO+BD，

∴OC-BD=OA，

∴ ，即是定值，且定值為1；

(3)過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC交y軸于點(diǎn)G，

∴∠CBG=∠ACD=90°，

∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，

∴∠DCO=∠CAO．

在△BCG和△CAD中，

∴△BCG≌△CAD(ASA)，

∴BG=CD=BD，∠BGE=∠ADC，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

又∵∠CBG=90°，

∴∠EBG=∠DBE=45°，

在△DBE和△GBE中，

∴△DBE≌△GBE(SAS)，

∴∠BDE=∠BGE，

由∵∠BGE=∠ADC，

∴∠ADC=∠BDE．