【題目】我們知道,三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點,過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交,兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形.若有一個圖形與原三角形相似,則把這條線段叫做這個三角形的“內(nèi)似線”.
(1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為 ;
(2)如圖,△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求證:BD是△ABC的“內(nèi)似線”;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分別在邊AC、BC上,且EF是△ABC的“內(nèi)似線”,求EF的長.
【答案】(1)1;(2)證明見解析;(3)EF的長是.
【解析】試題分析:(1)過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線,即可得出答案;
(2)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠BDC,證出△BCD∽△ABC即可;
(3)分兩種情況:①當時,EF∥AB,由勾股定理求出AB==5,作DN⊥BC于N,則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑,求出DN=(AC+BC-AB)=1,由幾啊平分線定理得出,求出CE=,證明△CEF∽△CAB,得出對應(yīng)邊成比例求出EF=;
②當時,同理得:EF=即可.
試題解析:(1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3條;理由如下:
過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線,如圖1所示:
則△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,
∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內(nèi)似線”;
(2)∵AB=AC,BD=BC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∴△BCD∽△ABC,
∴BD是△ABC的“內(nèi)似線”;
(3)設(shè)D是△ABC的內(nèi)心,連接CD,
則CD平分∠ACB,
∵EF是△ABC的“內(nèi)似線”,
∴△CEF與△ABC相似;
分兩種情況:①當時,EF∥AB,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
作DN⊥BC于N,如圖2所示:
則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑,
∴DN=(AC+BC-AB)=1,
∵CD平分∠ACB,
∴,
∵DN∥AC,
∴,即,
∴CE=,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,即,
解得:EF=;
②當時,同理得:EF=;
綜上所述,EF的長為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年《政府工作報告》中提出了十二大新詞匯,為了解同學們對新詞匯的關(guān)注度,某數(shù)學興趣小組選取其中的:“藍天保衛(wèi)戰(zhàn)”, :“數(shù)字家庭”, :“人工智能+第五代移動通信”, :“全域旅游”四個熱詞在全校學生中進行了抽樣調(diào)查,要求被調(diào)查的每位同學只能從中選擇一個我最關(guān)注的熱詞、根據(jù)調(diào)查結(jié)果,該小組繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖如圖所示,請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名同學?
(2)條形統(tǒng)計圖中, , .
(3)若該校有名同學,請估計出選擇、的一共有多少名同學?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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(1)求的值;
(2)若函數(shù)的圖象與軸的交點是B,函數(shù)的圖象與軸的交點是C,與x軸交于點D,求三角形ABD的面積(其中O為坐標原點).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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【題目】為保障北京2022 年冬季奧運會賽場間的交通服務(wù),北京將建設(shè)連接北京城區(qū)-延慶區(qū)-崇禮縣三地的高速鐵路和高速公路.在高速公路方面,目前主要的交通方式是通過京藏高速公路(G6),其路程為220公里.為將崇禮縣納入北京一小時交通圈,有望新建一條高速公路,將北京城區(qū)到崇禮的道路長度縮短到100公里.如果行駛的平均速度每小時比原來快22公里,那么從新建高速行駛?cè)趟钑r間與從原高速行駛?cè)趟钑r間比為4:11.求從新建高速公路行駛?cè)绦枰嗌傩r?
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