Question

【題目】在圖1到圖3中，點O是正方形ABCD對角線AC的中點，△MPN為直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不動，△MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點E，PN垂直于直線BC于點F．

（1）如圖1，當點P與點O重合時，寫出OE與OF的數(shù)量關系；

（2）如圖2，當P在線段OC上時，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關系與位置關系？并對你的猜想結果給予證明；

（3）如圖3，當點P在AC的延長線上時，寫出OE與OF的數(shù)量關系；位置關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE＝OF，OE⊥OF，見解析；（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)利用正方形的性質得出∠BAC＝∠BCA、AO＝CO，再根據(jù)已知得出∠AEO＝∠AFO=90，從而得到△AEO≌△CFO即可；
（2）當P在線段OC上時，根據(jù)正方形得性質先證明PF＝FC，再證明四邊形BEPF為矩形，得到BE＝PF，從而得到BE＝FC，再證明△OBE≌△OCF即可；
（3）當點P在AC的延長線上時，有相同的關系，其證明方法與（2）類似．

（1）解：由題意得：

∠BAC＝∠BCA＝45°，AO＝CO，

∠AEO＝∠AFO，

在△AEO和△CFO中

，

∴△AEO≌△CFO（AAS）

∴OE＝OF；

（2）解：OE＝OF，OE⊥OF；

證明：連接BO，

∵在正方形ABCD中，O為AC中點，

∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，

∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，

∴∠FPC＝45°，PF＝FC．

∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB＝∠PFB＝90°．

∴四邊形PEBF是矩形，

∴BE＝PF．

∴BE＝FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，

∵∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF．

（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．

理由：連接BO，

∵在正方形ABCD中，O為AC中點，

∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，

∴∠OCF＝∠OBE

∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，

∴∠FPC＝45°，PF＝FC．

∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB＝∠PFB＝90°．

∴四邊形PEBF是矩形，

∴BE＝PF．

∴BE＝FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，

∵∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF．