Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常數(shù)）的頂點為P，直線l：y=x﹣1

（1）求證：點P在直線l上。
（2）當m=﹣3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上的一點，∠ACM=∠PAQ（如圖），求點M的坐標
（3）若以拋物線和直線l的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴點P的坐標為（m，m﹣1），

∵當x=m時，y=x﹣1=m﹣1，

∴點P在直線l上

（2）

解：當m=﹣3時，拋物線解析式為y=x2+6x+5，

當y=0時，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，則A（﹣5，0），

當x=0時，y=x2+6x+5=5，則C（0，5），

可得解方程組，解得或，

則P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），

作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，如圖，

∵OA=OC=5，

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴∠MCE=45°﹣∠ACM，

∵QG=3，OG=2，

∴AG=OA﹣OG=3=QG，

∴△AQG為等腰直角三角形，

∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，

∵∠ACM=∠PAQ，

∴∠APF=∠MCE，

∴Rt△CME∽Rt△PAF，

∴=，

設(shè)M（x，x2+6x+5），

∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，

∴=，

整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，

∴點M的坐標為（﹣4，﹣3）

（3）

解：解方程組得或，則P（m，m﹣1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，

當PQ=OQ時，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；

當PQ=OP時，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；

當OP=OQ時，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，

綜上所述，m的值為0，，，，．

【解析】（1）利用配方法得到y(tǒng)=（x﹣m）2+m﹣1，點P（m，m﹣1），然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷點P在直線l上；
（2）當m=﹣3時，拋物線解析式為y=x2+6x+5，根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出A（﹣5，0），易得C（0，5），通過解方程組得P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，如圖，證明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得=，設(shè)M（x，x2+6x+5），則=，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，于是得到點M的坐標為（﹣4，﹣3）；
（3）通過解方程組得P（m，m﹣1），Q（m+1，m），利用兩點間的距離公式得到PQ2=2，OQ2=2m2+2m+1，OP2=2m2﹣2m+1，然后分類討論：當PQ=OQ時，2m2+2m+1=2；當PQ=OP時，2m2﹣2m+1=2；當OP=OQ時，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，再分別解關(guān)于m的方程求出m即可．