【題目】如圖,正方形OABC的頂點O在坐標原點,頂點A的坐標為(4,3)
(1)頂點C的坐標為( , ),頂點B的坐標為( , );
(2)現(xiàn)有動點P、Q分別從C、A同時出發(fā),點P沿線段CB向終點B運動,速度為每秒1個單位,點Q沿折線A→O→C向終點C運動,速度為每秒k個單位,當運動時間為2秒時,以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形,求此時k的值.
(3)若正方形OABC以每秒 個單位的速度沿射線AO下滑,直至頂點C落到x軸上時停止下滑.設正方形OABC在x軸下方部分的面積為S,求S關于滑行時間t的函數(shù)關系式,并寫出相應自變量t的取值范圍.

【答案】
(1)﹣3;4;1;7
(2)

解:由題意得,AO=CO=BC=AB=5,

當t=2時,CP=2.

①當點Q在OA上時,∵PQ≥AB>PC,

∴只存在一點Q,使QC=QP.

作QD⊥PC于點D(如圖2中),則CD=PD=1,

∴QA=2k=5﹣1=4,

∴k=2.②當點Q在OC上時,由于∠C=90°所以只存在一點Q,使CP=CQ=2,

∴2k=10﹣2=8,∴k=4.

綜上所述,k的值為2或4


(3)

解:①當點A運動到點O時,t=3.

當0<t≤3時,設O’C’交x軸于點E,作A’F⊥x軸于點F(如圖3中).

則△A’OF∽△EOO’,

= = ,OO′= t,

∴EO′= t,

∴S= t2.②當點C運動到x軸上時,t=4

當3<t≤4時(如圖4中),設A’B’交x軸于點F,

則A’O=A′O= t﹣5,

∴A′F=

∴S= + t)×5=

綜上所述,S=


【解析】解:(1)如圖1中,作CM⊥x軸于,AN⊥x軸于N.連接AC、BO交于點K.

易證△AON≌△COM,可得CM=ON=4,OM=AN=3,
∴C(﹣3,4),∵CK=AK,OK=BK,
∴K( , ),B(1,7),
所以答案是﹣3,4,1,7
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和坐標與圖形變化-平移的相關知識點,需要掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形;新圖形的每一點,都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這兩個點是對應點;連接各組對應點的線段平行且相等才能正確解答此題.

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