Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動(dòng)到與CD相切時(shí)立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與AB相切）時(shí)停止移動(dòng)，已知點(diǎn)P與⊙O同時(shí)開始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置）．

（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動(dòng)了 cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動(dòng)3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P與⊙O的移動(dòng)速度相等，求在這5s時(shí)間內(nèi)圓心O移動(dòng)的距離；

（3）如圖②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時(shí)（此時(shí)圓心O1在矩形對(duì)角線BD上），DP與⊙O1恰好相切？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a+2b；（2）20cm；（3）存在.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；

（2）根據(jù)圓O移動(dòng)的距離與P點(diǎn)移動(dòng)的距離相等，P點(diǎn)移動(dòng)的速度相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得a、b的值，根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)相同時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比，可得的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠ADB=∠BDP，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BP與DP的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得DP的長，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得P點(diǎn)移動(dòng)的距離；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EO1的長，分類討論：當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時(shí)，當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1位置時(shí)，根據(jù)的值，可得答案．

試題分析：（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動(dòng)了a+2bcm（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）∵圓心O移動(dòng)的距離為2（a-4）cm，

由題意，得

a+2b=2（a-4）①，

∵點(diǎn)P移動(dòng)2秒到達(dá)B，即點(diǎn)P2s移動(dòng)了bcm，點(diǎn)P繼續(xù)移動(dòng)3s到達(dá)BC的中點(diǎn)，

即點(diǎn)P3秒移動(dòng)了acm．

∴②

由①②解得

，

∵點(diǎn)P移動(dòng)的速度為與⊙O移動(dòng)速度相同，

∴⊙O移動(dòng)的速度為

=4cm（cm/s）．

這5秒時(shí)間內(nèi)⊙O移動(dòng)的距離為5×4=20（cm）；

（3）存在這種情況，

設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)速度為v1cm/s，⊙O2移動(dòng)的速度為v2cm/s，

由題意，得，

如圖：

設(shè)直線OO1與AB交于E點(diǎn)，與CD交于F點(diǎn)，⊙O1與AD相切于G點(diǎn)，

若PD與⊙O1相切，切點(diǎn)為H，則O1G=O1H．

易得△DO1G≌△DO1H，

∴∠ADB=∠BDP．

∵BC∥AD，

∴∠ADB=∠CBD

∴∠BDP=∠CBD，

∴BP=DP．

設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，得

PC2+CD2=PD2，即（20-x）2+102=x2，

解得x=

此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為10+=（cm），

∵EF∥AD，

∴△BEO1∽△BAD，

∴，即，

EO1=16cm，OO1=14cm．

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為14cm，

此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為，

∵，

∴此時(shí)PD與⊙O1不能相切；

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為2（20-4）-14=18cm，

∴此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為，

此時(shí)PD與⊙O1恰好相切．