Question

如圖，有半徑為2

6

和2

10

的兩個(gè)同心圓，矩形ABCD的邊AB、CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形的面積為最大時(shí)，它的周長(zhǎng)等于（　�。�

• A、22+6

  2

• B、20+8

  2

• C、18+10

  2

• D、16+12

  2

Answer 1

分析：連接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，將此題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題來(lái)解決，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以證明三角形的面積等于相鄰兩邊乘積乘以?shī)A角的正弦值，根據(jù)這一公式分析面積的最大值的情況，然后熟練應(yīng)用勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊乘積除以斜邊求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，進(jìn)一步求其周長(zhǎng)．

解答：解：連接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，
根據(jù)矩形的面積和三角形的面積公式發(fā)現(xiàn)：矩形的面積為△AOD面積的4倍，
∵OA、OD的長(zhǎng)是定值，∴當(dāng)∠AOD的正弦值最大時(shí)，三角形的面積最大，
即∠AOD=90°，則AD=8，
根據(jù)三角形的面積公式得OM=3

2

，
即AB=6

2

，則矩形ABCD的周長(zhǎng)是16+12

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理和矩形的性質(zhì)，考生應(yīng)注意熟練運(yùn)用勾股定理，來(lái)求邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)．