Question

（2013•烏魯木齊）國家環(huán)保部發(fā)布的（環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)）規(guī)定：居民區(qū)的PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米．PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米，某市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年若干天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，并統(tǒng)計(jì)如下：
（1）求出表中a、b、c的值，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖．
（2）從樣本里PM2.5的24小時平均濃度不低于50微克/立方米的天數(shù)中，隨機(jī)抽取兩天，求出“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的概率．
（3）求出樣本平均數(shù)，從PM2.5的年平均濃度考慮，估計(jì)該區(qū)居民去年的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由．

PM濃度 （微克/立方米）	日均值	頻數(shù) （天）	概率
0＜x＜2.5	12.5	5	0.25
2.5＜x＜50	37.5	a	0.5
50＜x＜75	62.5	b	c
75＜x＜100	87.5	2	0.1

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)第一組的頻數(shù)與頻率求出被抽查的天數(shù)，然后乘以頻率0.5求出a，再求出b，根據(jù)頻率之和等于1求出c；
（2）設(shè)50＜x＜75的三天分別為A1、A2、A3，75＜x＜100的兩天分別為B1、B2，然后畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可得解；
（3）利用加權(quán)平均數(shù)的求解方法，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解，然后與PM2.5的年平均濃度標(biāo)準(zhǔn)比較即可得解．

解答：解：（1）被抽查的天數(shù)為：5÷0.25=20天，
a=20×0.5=10，
b=20-5-10-2=20-17=3，
c=1-0.25-0.5-0.1=1-0.85=0.15；
故a、b、c的值分別為10、3、0.15；
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：


（2）設(shè)50＜x＜75的三天分別為A1、A2、A3，75＜x＜100的兩天分別為B1、B2，
根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

一共有20種情況，“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的有12種情況，
所以，P=

12

20

=

3

5

；

（3）平均濃度為：

12.5×5+37.5×10+62.5×3+87.5×2

20

=

800

20

=40微克/立方米，
∵40＞35，
∴從PM2.5的年平均濃度考慮，該區(qū)居民去年的環(huán)境需要改進(jìn)．

點(diǎn)評：本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．