【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B(3,0).C(0,3),點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D.若OD=m,△PCD的面積為S,試判斷S有最大值或最小值?并說明理由;
(3)在MB上是否存在點(diǎn)P,使△PCD為直角三角形?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)m=時(shí),S有最大值,最大值為; (3)存在,P點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)或(﹣3+3,12﹣6)時(shí),△PCD為直角三角形.
【解析】試題分析:(1)把B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式;
(2)把(1)中的一般式配成頂點(diǎn)式可得到M(1,4),設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n,再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式,則P(m,﹣2m+6)(1≤m<3),于是根據(jù)三角形面積公式得到S=﹣m2+3m,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;
(3)討論:∠PDC不可能為90°;當(dāng)∠DPC=90°時(shí),易得﹣2m+6=3,解方程求出m即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)∠PCD=90°時(shí),利用勾股定理得到和兩點(diǎn)間的距離公式得到m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2,
然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)把B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c得,解得,
所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)S有最大值.理由如下:
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴M(1,4),
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n,
把B(3,0),M(1,4)代入得,解得,
∴直線BM的解析式為y=﹣2x+6,
∵OD=m,
∴P(m,﹣2m+6)(1≤m<3),
∴S=m(﹣2m+6)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∵1≤m<3,
∴當(dāng)m=時(shí),S有最大值,最大值為;
(3)存在.
∠PDC不可能為90°;
當(dāng)∠DPC=90°時(shí),則PD=OC=3,即﹣2m+6=3,解得m=,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,3),
當(dāng)∠PCD=90°時(shí),則PC2+CD2=PD2,即m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2,
整理得m2+6m﹣9=0,解得m1=﹣3﹣3(舍去),m2=﹣3+3,
當(dāng)m=﹣3+3時(shí),y=﹣2m+6=6﹣6+6=12﹣6,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3+3,12﹣6),
綜上所述,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)或(﹣3+3,12﹣6)時(shí),△PCD為直角三角形.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D在⊙O上,∠DAB=45°,BC∥AD,CD∥AB.
(1)判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為1,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為24厘米,∠A=60°,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線路AB→BD作勻速運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線路DC→CB→BA作勻速運(yùn)動.
(1)求BD的長;
(2)已知點(diǎn)P、Q運(yùn)動的速度分別為4厘米/秒,5厘米/秒,經(jīng)過12秒后,P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn),若按角的大小進(jìn)行分類,請你確定△AMN是哪一類三角形,并說明理由;
(3)設(shè)(2)中的點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回,點(diǎn)P的速度不變,點(diǎn)Q的速度改變?yōu)?/span>a厘米/秒,經(jīng)過3秒后,P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn),若△BEF與(2)中的△AMN相似,試求a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列3、12、30、60……中,請你觀察數(shù)列的排列規(guī)律,則第5個(gè)數(shù)是( )
A. 75B. 90C. 105D. 120
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖長方形OABC的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)O移動,速度為每秒1個(gè)單位;點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A移動,速度為每秒2個(gè)單位,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(0≤t≤4)
(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為 , 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 , 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . (用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)t為何值時(shí),P、Q兩點(diǎn)與原點(diǎn)距離相等?
(3)在點(diǎn)P、Q移動過程中,四邊形OPBQ的面積是否變化?說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABD中,AB=AD,以AB為直徑的⊙F交BD于點(diǎn)C,交AD與點(diǎn)E,CG⊥AD于點(diǎn)G.
(1)求證:GC是⊙F的切線;
(2)填空:①若△BCF的面積為15,則△BDA的面積為 .
②當(dāng)∠GCD的度數(shù)為 時(shí),四邊形EFCD是菱形.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于A,B兩點(diǎn),直線AB與x軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣6,m),線段OA=5,E為x軸正半軸上一點(diǎn),且cos∠AOE=.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求證:S△AOC=2S△BOC;
(3)直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上一點(diǎn),連接BD,將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,DE與AB相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG⊥AB,垂足為點(diǎn)G.若EF=5,CD=2,則△BDG的面積為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com