已知拋物線y=-x2+2(m-3)x+m-1與x軸交于B,A兩點(diǎn),其中B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C.
(1)寫出拋物線的開口方向與點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含m的式子表示);
(2)若tan∠CBA=3,試求拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)P(x,y)(其中0<x<3)是(2)中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求四邊形AOCP的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是-1<0,因而拋物線的開口向下.在函數(shù)解析式中令x=0解得y的值,就是C的縱坐標(biāo);
(2)解方程-x2+2(m-3)x+m-1=0得到方程的兩個(gè)根,tan∠CBA=3,就可以轉(zhuǎn)化為OB,OC之間的關(guān)系,就可以用m表示出B點(diǎn)的坐標(biāo),把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,就可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程,從而解出m的值.得到函數(shù)的解析式;
(3)四邊形AOCP的面積為S△COP+S△OPA,這兩個(gè)三角形的面積就可以用x表示出來,從而把面積表示成x的函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
解答:解:(1)拋物線的開口向下,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,m-1);
(2)∵點(diǎn)A、B分別在x軸的正、負(fù)半軸上,
∴方程-x
2+2(m-3)x+m-1=0的兩根異號(hào),
即m-1>0,
∴OC=m-1,由tan∠CBA=3,
得OB=
OC=
(m-1),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-
,0),
代入解析式得-
(m-1)
2-
(m-1)(m-3)+m-1=0,
由m-1≠0得-
(m-1)-
(m-3)+1=0,
∴m=4,
拋物線的解析式為y=-x
2+2x+3;
(3)如圖,
當(dāng)0<x<3時(shí),y>0,
∴四邊形AOCP的面積為S
△COP+S
△OPA=
×3x+
×3y
=
(x-x
2+2x+3)=-
(x-
)
2+
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
,)時(shí),四邊形AOCP的面積達(dá)到最大值
,
說明:①四邊形AOCP有多種分割方法,殊途同歸,都可得S=
(x+y).
②點(diǎn)P坐標(biāo)忘了求,其余正確的給(13分).
點(diǎn)評(píng):本題是三角函數(shù)與二次函數(shù)幾何圖形相結(jié)合的綜合題,難度較大.